【备战2014高考数学专题汇编】专题10：数学解题方法之配方法

【备战2014高考数学专题汇编】 专题10：数学解题方法之配方法 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 3～8专题，我们对数学思想方法进行了探讨，从上一专题开始我们对数学解题方法进行探讨。数学问题中，常用的数学解题方法有待定系数法、配方法、换元法、数学归纳法、反证法等。 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。如何配方，需要我们根据题目的要求，合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，完成配方。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： ； ； ； 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： ； 。 结合2013年全国各地高考的实例探讨配方法的应用： 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例1. （2013年广东省理14分）设数列｛an｝的前n项和为Sn，已知，n∈N· （1）求a2的值； （2）求数列｛an｝的通项公式； （3） 证明：对一切正整数n，有。 【答案】解：（1）略 （2）∵对于数列｛an｝有： ； ； ； …… ∴猜想。 下面用数学归纳法证明： i.当n=1时，成立。 ii.假设当n=k＋1时，成立，则 ，即， ∴当n=k＋2时， 成立。 ∴对于n∈N，有。 （3）略 【考点】数列与不等式的综合，数学归纳法的应用。 【解析】（1）略 （2）在中，分别求出n=1，2，3…，寻找出规律：，用数学归纳法证明。 （3）略 （3）由抛物线定义可知， ∴。 联立方程，消去并整理得。 根据韦达定理可得， ∴。 又∵点P（x0，y0）为直线L上，∴。 ∴。 ∴当时, 取得最小值,且最小值为。 【考点】抛物线的性质，点到直线的距离公式，导数的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，韦达定理的应用，二次函数的最小值。 【解析】（1）（2）略 （3）求出关于点P纵坐标y0的函数表达式，应用二次函数的最小值求解。 例3. （2013年湖南省理13分）过抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1＋k2＝2。l1与E相交于点A，B ，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l. （1）若k1>0，k2>0，证明：； （2）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程． 【答案】解：（1）略 （2）由抛物线的定义得， ∴，从而圆M的半径。 ∴圆M的方程为， 化简得。 同理可得圆N的方程为。 于是圆M，圆N的公共弦所在直线l的方程为。 又 k2－k1≠0，k1＋k2＝2，则l的方程为x＋2y＝0。 ∵p>0，∴点M到直线l的距离。 故当k1＝时，d取最小值。 由题设，解得p＝8。 故所求的抛物线E的方程为x2＝16y。 【考点】直线与圆锥曲线的关系，平面向量数量积的运算，抛物线的标准方程。 【分析】（1）略 （2）利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径，结合（1）中求出的圆M和圆N的圆心的坐标，写出两圆的方程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式求出点M到直线l的距离，利用k1＋k2＝2转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小值，由最小值等于 求出p的值，则抛物线E的方程可求。 例4. （2013年江西省理5分）过点（，0）引直线l与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于【 】 A． B． C． D． 【答案】B。 【考点】直线与圆的位置关系，直线的斜率。 【分析】∵由得，（y≥0）， ∴曲线表示单位圆在x轴上方的部分（含与x轴的交点）。 设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，则1＜k＜0。 则直线l ... ...