【备战2014高考数学专题汇编】专题11：数学解题方法之换元法

【备战2014高考数学专题汇编】 专题11：数学解题方法之换元法 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 3～8专题，我们对数学思想方法进行了探讨，从第九专题开始我们对数学解题方法进行探讨。数学问题中，常用的数学解题方法有待定系数法、配方法、换元法、数学归纳法、反证法等。 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。　换元法又称辅助元素法、变量代换法。换元的实质是转化，关键是构造元或设元，理论依据是等量代换，目的是通过引进新的变量，把分散的条件联系起来，把隐含的条件显露出来，把条件与结论联系起来，把不熟悉的形式变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化，把非标准型问题标准化等。 通过换元，可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，化代数式为三角式等。在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元，三角换元，均值换元。 结合2013年全国各地高考的实例，我们从下面三方面探讨换元法的应用：（1）局部换元法的应用；（2）三角换元法的应用；（3）均值换元法的应用。 一、局部换元法的应用：局部换元，又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 【点评】通过设z＝a＋bi(a，b∈R)，将变为熟悉的复数恒等的问题。 例2.（2013年北京市文5分）已知点A（1，-1），B（3，0），C（2，1）.若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为　　▲　　. 【答案】3。 【考点】向量在几何中的应用，点到直线的距离，数形结合思想的应用。 【分析】设P的坐标为（x，y），则。 ∵， ∴，解之得。 ∵1≤λ≤2，0≤μ≤1， ∴点P坐标满足不等式组。 作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部，其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）， ∵， ∴点E（5，1）到直线CF：的距离为。 ∴平行四边形CDEF的面积为。 ∴动点P构成的平面区域D的面积为3。 【点评】通过设P的坐标为（x，y）由，将问题变为可行域问题求解。 例3. （2013年湖北省理13分）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2． （1）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值； （2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由． 【答案】解：依题意可设椭圆C1与C2的方程分别为C1：，C2：. 其中，。 （1）略 （2）如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2， 根据对称性，不妨设直线：， 点到直线的距离分别为，则 ∵，，∴。 又∵，， ∴，即。 由对称性可知，∴。 ∴①。 将的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得， 根据对称性可知。 ∴②。 由①和②式可得③。 令，则由，可得。 ∴由③可解得。 ∵，∴。 ∴③式关于有解，当且仅当，等价于。 由，可解得，即。 由，解得。 ∴当时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2； 当时，存在与坐标轴不重合的直线l使得S1=λS2。 【考点】直线与圆锥曲线的关系，三角形的面积公式，点到直线的距离公式，转化思想的应用。 【分析】（1）略 （2）假设存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出M和N到直线l的距离，利用数学转化思想把两个三角形的面积比转化为线段长度比，由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到 ，换元后利用非零的k值存在讨论λ ... ...