【备战2014高考数学专题汇编】专题17：极限、导数和定积分问题

【备战2014高考数学专题汇编】 专题17：极限、导数和定积分问题 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 1～2专题，我们对客观性试题解法进行了探讨，3～8专题，对数学思想方法进行了探讨，9～12专题对数学解题方法进行了探讨，从第13专题开始我们对高频考点进行探讨。 在我国现在中学数学新教材中，微积分处于一种特殊的地位，是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。微积分的思想方法和基本理论有着广泛的应用。 结合中学数学的知识，高考中微积分问题主要有以下几种： 1. 极限的计算； 2. 应用导数求函数的最（极）值； 3. 应用导数讨论函数的增减性； 4. 导数的几何意义和应用导数求曲线的切线； 5. 定积分的计算和应用。 结合2013年全国各地高考的实例，我们从以上五方面探讨极限、导数和定积分问题的求解。 一、极限的计算： 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 分别在上时，的最大值分别是，则【 】 A．0 B. C. 2 D. 【答案】D。 【考点】数列的极限；椭圆的性质和参数方程（待定系数法的应用）。 【分析】椭圆的参数方程为：（θ为参数），∴。 ∴ 。 ∵，∴的最大值为，即。 故选D。 二、应用导数求函数的最（极）值： 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例1. （2013年福建省理13分） 已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)． （1）当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程； （2）求函数f(x)的极值． 【答案】解：（1）略 （2）由，x>0知： ①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值； ②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a， 又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值。 综上所述，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值。 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的极值。 【分析】（1）略 （2）求出函数的导函数，由导函数可知，当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域（0，+∝）上单调递增，函数无极值，当a＞0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值。 例2. （2013年福建省文14分）已知函数 (a∈R，e为自然对数的底数)． （1）若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值； （2）求函数f(x)的极值； （3）当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，求k的最大值． 【答案】解：（1）由，得， 又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，得f′(1)＝0，即＝0，解得a＝e。 （2）， ①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值。 ②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，x＝ln a。 当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值。 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值。 （3）当a＝1时， 令g(x)＝f(x)－(kx－1)＝， 则直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)没有公共点，等价于方程g(x)＝0在上没有实数解。 假设k>1，此时g(0)＝1>0，。 又函数g(x)的图像连续不断，由零点存在定理，可知g(x)＝0在上至少有一解，与“方程g(x)＝0在上没有实数解”矛盾，故k≤1。 又k＝1时，g(x)＝>0，知方程g(x)＝0在上没有实数解。 ∴k的最大值为1。 【考点】利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程，分类思想和反证法的应用。 【分析】（1）依题意，f′（1）=0，从而可求得a的值。 ... ...