【备战2014高考数学专题汇编】专题25：直线与圆问题

【备战2014高考数学专题汇编】 专题25：直线与圆问题 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 1～2专题，我们对客观性试题解法进行了探讨，3～8专题，对数学思想方法进行了探讨，9～12专题对数学解题方法进行了探讨，第13专题～第28专题我们对高频考点进行探讨。 结合2013年全国各地高考的实例，我们从以下三方面探讨直线与圆问题的求解： 1. 直线的方程和性质； 2. 圆的方程和性质； 3. 直线与圆的综合问题。 一、直线的方程和性质： 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 例1.（2013年湖北省文5分）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： ①y与x负相关且；②y与x负相关且； ③y与x正相关且；④y与x正相关且8. 其中一定不正确的结论的序号是【 】 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D。 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D。 【考点】线性回归方程。 【分析】k>0时正相关，k<0时负相关。因此，①④不正确。故选D。 例3.（2013年福建省文5分） 已知x与y之间的几组数据如下表： x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为，.若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为，则以下结论正确的是【 】 A.′ 　　　　B.　　　　C. 　　　　D. 【答案】C。 【考点】线性回归方程，直线斜率和在y轴上的截距的几何意义，数形结合思想的应用。 【分析】画出散点图和与的草图，根据直线斜率和在y轴上的截距的几何意义，可得。故选C。 例4 . （2013年湖南省理5分）在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示)，若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于【 】 A．2 B．1 C． D． 【答案】D。 【考点】关于点、直线对称的直线方程，光的反射原理的应用。 【分析】建立如图所示的坐标系： 可得B（4，0），C（0，4），故直线BC的方程为x+y=4， △ABC的重心为，即。 设P（a，0），其中0＜a＜4， 则点P关于直线BC的对称点P1（x，y），满足 ，解得。 ∴P1（4，）。 易得P关于y轴的对称点P2（，0）。 由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线。 ∵直线QR的斜率为，∴直线QR的方程为。 又∵由于直线QR过△ABC的重心，代入化简可得，解得a=，或a=0（舍去）。 ∴P（，0）。∴AP=。故选D。 例5 . （2013年全国新课标Ⅱ理5分）已知点A(-1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y = ax +b (a > 0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是【 】 A． B. C. D. 【答案】B。 【考点】确定直线位置的几何要素，三角形的面积公式，点到直线的距离公式，分类思想的应用。 【分析】由题意可得，三角形ABC的面积为， ∵直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为，且，∴点M在射线OA上。 设直线和BC的交点为 N，则由可得点N的坐标为。 ①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，则。 ②若点M在点O和点A之间，则点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，即 ，∴。 ③若点M在点A的左侧，则。 设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由可得点P的坐标为。此时， 此时，点C（0，1）到直线y=ax+b的距离等于。 由题意可得，三角形CPN的面积等于，即，即。 由于此时 b＞a＞0，∴。 两边开方可得。 综上所述，b的取值范围是。故选B。 例6 .（2013年重庆市文13分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，算得，，，． （1）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程（9分）； （2）判断变量与之间是正相关还是负相关（2分）； （3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄（2分）． 附：线性回归方程中，，， 其中，为样 ... ...