【备战2014高考数学专题汇编】专题19：数列问题

【备战2014高考数学专题汇编】 专题19：数列问题 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 1～2专题，我们对客观性试题解法进行了探讨，3～8专题，对数学思想方法进行了探讨，9～12专题对数学解题方法进行了探讨，从第13专题开始我们对高频考点进行探讨。 数列是高考数学的必考内容，考查的比重不小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式的应用是必考内容，数列与函数和导数、三角函数、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点和难点。 从解题思想方法的规律着眼，高考数学中主要有：① 方程思想的应用，利用公式列方程(组)；② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用等。 从题型的角度，高考中数列问题主要有以下几种： 　　1. 等差、等比数列的相关知识； 2. 裂项求和法和逐商求积法的运用： 3. 放缩法的运用： 4. 错位相减法的运用： 5. 周期（循环）数列（扩展）的运用： 6. 数学归纳法的应用； 7. 数列与函数（方程）的综合应用。 结合2013年全国各地高考的实例，我们从以上七方面探讨数列问题的求解。 一、等差、等比数列的相关知识：包括等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式或可直接转化为等差、等比数列的数列。 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 【解析】∵，∴。 又∵，∴公差。 ∴。 故选A。 例2. （2013年北京市理5分）若等比数列{an}满足a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比q= ▲ ；前n项和Sn= ▲ . 【答案】2；。 【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和。 【分析】∵a2＋a4=20，a3＋a5=40， ∴，解得。 ∴。 例3. （2013年北京市文5分）若等比数列{an}满足a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比q= ▲ ；前n项和Sn= ▲ . 【答案】2；。 【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和。 【分析】∵a2＋a4=20，a3＋a5=40， ∴，解得。 ∴。 例4. （2013年北京市文13分）给定数列a1，a2，…，an。对i-1，2，…n-l，该数列前i项的最大值记为Ai，后n-i项ai+1，ai+2，…，an的最小值记为Bi，. （1）设数列{an}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值. （2）设a1，a2，…，an（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1＞0.证明：d1，d2，…dn-1是等比数列。 （3）设d1，d2，…dn-1是公差大于0的等差数列，且d1＞0，证明：是等差数列。 【答案】解：（1）当i=1时，A1=3，B1=1，故 2，同理可求d2=3，d3=6。 （2）证明：∵a1，a2，…，an-1（n≥4）是公比大于1的等比数列，且，∴。 ∴当时，。 ∴当时，。 ∴，，，是等比数列。 （3）证明：若，，，是公差大于0的等差数列，则， 应是递增数列，证明如下： 设是第一个使得的项，则， ∴，与已知矛盾。 ∴是递增数列。 再证明数列中最小项，否则设，则 显然，否则，与矛盾。 因而，此时考虑，矛盾， 因此是数列中最小项。 综上，，于是，也即是等差数列。 【考点】等差数列与等比数列的综合。 【分析】（1）当i=1时，A1=3，B1=1，从而可求得d1，同理可求得d2，d3的值。 （2）依题意，可知，由，从而可证 （k≥2）为定值。 （3）依题意，，可用反证法证明是单调递增数列；再证明为数列中的最小项，从而可求得是，问题得证。 例5. （2013年福建省理5分） 已知等比数列{an}的公比为q，记， (m，n∈N﹡)，则以下结论一定正确的是【 】 A．数列{bn}为等差数列，公差为qm B．数列{bn}为等比数列，公比为q2m C．数列{cn}为等比数列，公比为 D．数列{cn}为等比数列，公比为 【答案】C。 【考点】等比关系和等差关系的确定，特殊元素法和排他法的应用。 【分析】取an＝1，q＝1，则bn＝m，cn＝1，排除A； 取a1＝1，q＝－1，m取正偶数，则bn＝0，排除B； 。 故选C。 例6. （2013年福建省文12分） 已知等差数列{an} ... ...