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课件网) 第二十一章 二次函数与反比例函数 21.3 二次函数与一元二次方程 旧知回顾 1．一次函数 y＝kx＋b 的图象经过(0，3)、(4，0)，则方程 kx＋b＝0 的解是_____． 2．如图，一次函数 y＝kx＋b 的图象如图所示，则方程kx＋b＝1的解是_____． x＝4 x＝－2 思考：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y取一个确定值时，它就变成了一个一元二次方程，由此可知一元二次方程与二次函数有着密切的关系．那么它们之间到底有怎样的关系呢？ 观察二次函数y＝x2＋3x＋2的图象，并回答下列问题. (1)函数图象与x轴有几个交点？ (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？ 解：(1)函数图象与x轴有两个交点． (2)从以上观察可以得出，求函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点坐标即是求当y＝0时，自变量x的值，也就是求方程ax2＋bx＋c＝0的根． 一元二次方程与二次函数的关系 问题1 所以二次函数与一元二次方程关系密切． 例如，已知二次函数 y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）． 反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值． 观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？ （1）y＝x2＋x－2； （2）y＝x2－6x＋9； （3）y＝x2－x＋1. 问题2 1 O y x y = x2－6x＋9 y = x2－x＋1 y = x2＋x－2 观察图象，完成下表： 抛物线 与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次 方程的根 y = x2－x＋1 y = x2－6x＋9 y = x2＋x－2 0个 1个 2个 x2-x+1=0，无解 0 x2-6x+9=0，x1=x2=3 -2，1 x2+x-2=0，x1=-2, x2=1 无 b2－4ac 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2－4ac＞0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2－4ac＝0 没有交点 没有实数根 b2－4ac＜0 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系： 若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1＝1，x2＝2，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标分别为_____． (1，0)，(2，0) 二次函数y＝x2－6x＋n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2－6x＋n＝0的一个解为 x1＝1，则另一个解x2＝_____． 5 例1 例2 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都 是整数，求正整数m的值． 例3 (1)证明：∵m≠0， ∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. ∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0， ∴此抛物线与x轴总有两个交点； (2)解：令 y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0， ∴ x－1＝0 或 mx－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝ . 当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数． ∴正整数m的值为1或2. 已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都 是整数，求正整数m的值． 例3 求一元二次方程 x2＋2x－1＝0 的根的近似值（精确到 0.1）. 分析：一元二次方程 x ＋2x－1＝0 的根就是抛物线 y＝x ＋2x－1与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法. 利用二次函数求一元二次方程的近似解 范例 解：画出函数 y＝x ＋2x－1 的图象（如图所示），由图象可知，方程有两个实数根，一个在－3与－2之间，另 ... ...
