本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 【名师面对面】2014届数学一轮知识点讲座：考点13定积分与微积分基本定理（解析版） 加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用 一.考纲目标 了解定积分的实际背景，初步掌握定积分的相关概念，体会定积分的基本方法.了解微积分基本定理的含义，能利用微积分基本定理计算简单的定积分，解决一些简单的几何和物理问题. 二.知识梳理 1.定积分的定义：如果函数在区间上连续，用分点 将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，当时，和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记做：.记：=，分别叫做积分下限和积分上限，区间叫做积分区间. 2.定积分几何意义：如果函数在区间上连续且恒有 ，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分分几何意义. 3.定积分性质： 为常数） 4.微积分基本定理 一般地，如果函数是区间上的连续函数，并且，那么 三.考点逐个突破21世纪教育网 1.定积分的计算 例1.dx A. －1 B. 1－ C. 1 D. e－1 【答案】C 【解析】利用微积分定理，dx =，选C; 例2.= . 【答案】 【解析】利用微积分定理得：= 例3. 计算_____． 【答案】 【解析】表示椭圆的轴上方部分， 2.定积分和其它知识网络交汇命题 例4.若，则二项式展开式中含的项的系数是____. 【答案】240 【解析】因为=2，则二项式的通项公式为，，系数为240； 3.利用定积分求面积 例5.已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为 A． B． C． D． 【答案】B【解析】根据图像可得： ，再由定积分的几何意义，可求得面积为. 例6.设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则_____. 【答案】 【解析】由已知得，所以，所以。21世纪教育网 例7.已知函数的图象是折线段，其中、、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为 。 【答案】 【解析】当，线段的方程为，当时。线段方程为，整理得，即函数，所以，函数与轴围成的图形面积为。 4.利用定积分的几何意义求定积分 例8. 利用定积分的几何意义求下列定积分： (1) dx(a>0)； (2) (3x3＋4sinx)dx. （3）求定积分dx. 解(1) dx表示y＝的图像与x＝－a，x＝a，y＝0所围成的图形的面积，如图所示． 由y＝得x2＋y2＝a2(y≥0)，[来源:21世纪教育网] ∴y＝表示以原点为圆心，a为半径的上半圆，其面积为·πa2＝， ∴dx＝. (2) (3x3＋4sinx)dx表示直线x＝－5，x＝5，y＝0和曲线y＝3x3＋4sinx所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号．21世纪教育网 ∵x∈[－5,5]，[21世纪教育网 又f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝3x3＋4sinx是奇函数， ∴ (3x3＋4sinx) dx＝－(3x3＋4sinx)dx， ∴ (3x3＋4sinx)dx ＝ (3x3＋4sinx)dx＋(3x3＋4sinx)dx＝0. （3）[解] 设y＝， 即(x－3)2＋y2＝25(y≥0)． 因为方程(x－3)2＋y2＝25表示以(3,0)为圆心，5为半径的圆，如图所示， 所以dx表示此圆面积的. 故dx＝·π·52＝π. 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网 ... ...
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