【名师面对面】（人教通用）2014届数学（理）一轮复习知识点逐个击破专题讲座：解三角形（正、余弦定理、三角形面积公式及应用举例）（含教师经验解析）

【名师面对面】2014届数学一轮知识点讲座：考点17解三角形（正、余弦定理、三角形面积公式及应用举例）（解析版） 加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用 一.考纲目标 正余弦定理及三角形面积公式；在已知三角形的两边，和其中一边的对角的情况下解的讨论；培养学生的应用意识和实践能力；将实际问题数学化 二.知识梳理 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等其比值为外接圆的直径 正弦定理： 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角） 2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍余弦定理： ， 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 3.三角形的面积：△ABC的面积用S表示，外接圆半径用R表示，内切圆半径用r表示，半周长用p表示则 ①；②； ③；④； ⑤；⑥（其中） 4.三角形内切圆的半径：，特别地， 5.三内角与三角函数值的关系：在△ABC 中 6.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．用正弦定理有解的可分为以下情况，在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsinA bsinAb 解的个数 一解 两解 一解 一解 7.常用术语 （1） 仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②) （3）方向角：相对于某一正方向的水平角(如图③) ①北偏东α ：指北方向顺时针旋转α到达目标方向 ②东北方向：指北偏东45°或东偏北45° ③其他方向角类似． （4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角) 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比) 三、考点逐个突破 1.正弦定理的应用[] 例1. 已知中，的对边分别为若且，则 A.2 B．4＋ C．4— D． 【答案】A 【解析】 由可知,,所以, 由正弦定理得,故选A 例2. 在中，为锐角，角所对应的边分别为，且 （I）求的值； （II）若，求的值 本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力. 解：（Ⅰ）、为锐角，， 又， ，， （Ⅱ）由（Ⅰ）知,. 由正弦定理得 ，即， ， ， 2.余弦定理的应用[] 例3. 在⊿ABC中，BC=，AC=3，sinC=2sinA (I) 求AB的值： (II) 求sin的值 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差 的正弦等基础知识，考查基本运算能力.[] （Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理， 于是AB= （Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA= 于是 sinA= 从而sin2A=2sinAcosA=,cos2A=cos2A-sin2A= 所以 sin(2A-)=sin2Acos-cos2Asin= 例4. 在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b 分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一：在中则由正弦定理及余弦定理 有:化简并整理得：.又由已知 .解得. 解法二:由余弦定理得: .又,. 所以…………………………………① 又， ，即 由正弦定理得，故………………………② 由①，②解得. 评析:高考考纲中明确提出要加强 ... ...