[十年高考]2004年-2013年上海市高考数学试题（理）分类解析汇编专题3：最值问题

[十年高考]2004年-2013年上海市高考数学试题（理）分类解析汇编 专题3：最值 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 [十年高考]2004年-2013年上海市高考数学试题（理）分类解析汇编由江苏泰州锦元数学工作室精心编辑，在对上海市2004年～2013年高考数学（理）解析的基础上分16专题进行分类汇编。 最值问题是中学数学的重要内容，它分布在中学数学的各个部分和知识水平层面。以最值为载体，可以考查中学数学的许多知识点，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。 　　分析考题的类型，高考中最值问题的呈现方式一般有以下几种： 　　1．函数（含三角函数）的最值； 　　2．学科内的其它最值，如几何中的最值问题、数列的最大项等等； 　　3．字母（函数）的取值范围； 　　4．不等式恒成立问题、存在性问题，常常转化为求函数的最值，例如： 对恒成立的最小值≥0成立，对恒成立的最大值≤0成立，等等； 　　5．实际应用问题，如最优化问题，可以通过建模可化为最值问题，等等。 　　2004年～2013年上海市高考对最值的考查主要集中在6个方面： 1．应用二次函数的性质（配方法）； 2．应用不等式（含基本不等式）； 3．应用单调性等性质； 4．应用函数的值域； 5．应用三角函数； 6．应用几何、向量知识；　　　 一、应用二次函数的性质（配方法）：初中阶段研究二次函数的最值，是从配方法开始的。设，则，根据偶次幂的非负性质，当时，若a>0，有最小值；若a<0，有最大值。 到了高中，这里的可以是自变量，也可以是代数式或函数。应用二次函数的性质（配方法）求最值是求最值的基本方法之一。 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 1.（2013年上海市理14分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润是元. （1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围（6分）； （2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润（8分）. 【答案】解：（1）生产该产品2小时的利润为， 由题意，≥3000，解得x≤或x≥3。 又∵1≤x≤10，所以3≤x≤10。 （2）生产900千克该产品，所用的时间是小时， 获得利润为，1≤x≤10。 记f(x)＝,1≤x≤10， 则f(x)＝，当且仅当x＝6时取到最大值。 最大利润为90 000×＝457 500元。 ∴甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457 500元。 【考点】不等式和函数的应用。 【分析】（1）根据“生产该产品2小时获得的利润不低于3000元”列不等式即可。 （2）在以x千克/小时的速度生产产品时，每小时可获得的利润是)元，这里隐含着1千克/小时的速度下每小时可获得的利润函数，必须明朗它；在给定速度的情况下，小时可获得的利润是多少，也必须清楚它，这里要把变量当做常量，去乘以时间（小时）。这样得到利润关于速度的函数，应用配方法即可求解。 2.（2010年上海市理13分）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，骨架把圆柱底面8等份，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）. （1）当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）（5分）; （2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为点，安装一些霓虹灯，当灯笼的底面半径为0.3米时，求图中两根直线A1B3与A3B5所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数表示）（8分） 【答案】解：（1）设圆柱的高为h，由题意可知，4（4r+2h）=9.6，即2r+h=1.2， ，其中0＜r＜0.6， ∴当半径r=0.4m时，Smax=0.48π≈1.51（m2） （2）当r=0.3时，由2r+h=1.2，解得圆柱的高h=0.6（米）， 如图以直线A3A7、A1A5及圆柱的 ... ...