【名师面对面】2014届数学一轮知识点讲座：考点34 双曲线 加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用 一.考纲目标 双曲线的定义、标准方程与几何性质 二.知识梳理 1．双曲线定义： ①到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点 ②(*)动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线，这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线 2．双曲线图像中线段的几何特征： ⑴实轴长，虚轴长2b,焦距 ⑵顶点到焦点的距离： ， ⑶(*)顶点到准线的距离： ； ⑷(*)焦点到准线的距离： ⑸(*)两准线间的距离: ⑹(*)中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来， ⑺离心率： ∈（1，+∞） ⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长 ⑼(*)通径的长是，焦准距，焦参数（通径长的一半） 其中 3. 双曲线标准方程的两种形式： ①－=1，c=，焦点是F1（－c，0），F2（c，0）[来源:Zxxk.Com] ②－=1，c=，焦点是F1（0，－c）、F2（0，c） 4.双曲线的性质：－=1（a＞0，b＞0） ⑴范围：|x|≥a，y∈R ⑵对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0） ⑷渐近线： ①若双曲线方程为渐近线方程 ②若渐近线方程为双曲线可设为 ③若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上） ④特别地当离心率两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为；y=x，y=－x ⑸(*)准线：l1：x=－，l2：x=，两准线之距为 ⑹(*)焦半径：，（点P在双曲线的右支上）； ，（点P在双曲线的右支上）； 当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质（略） ⑺(*)与双曲线共渐近线的双曲线系方程是 ⑻(*)与双曲线共焦点的双曲线系方程是 三.考点逐个突破 1.双曲线的定义 例1.(1) 双曲线的实轴长是虚轴长的2倍,则m等于 A． B． C． D．[来源:Z,xx,k.Com] 解析：双曲线的标准方程为，所以，且，因为，所以，，即，解得，选D （2）设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围 分析：由|PM|－|PN|=2m，得||PM|－|PN||=2|m|知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值范围 解：设点P的坐标为（x，y），依题意得=2， 即y=±2x（x≠0） ① 因此，点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线， 从而得 ||PM|－|PN||<|MN|=2 ∵||PM|－|PN||=2|m|>0，∴0<|m|<1 因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上[来源:学科网ZXXK] 故－=1 ② 将①代入②，并解得x2=， ∵1－m2>0，∴1－5m2>0 解得0<|m|<， 即m的取值范围为（－，0）∪（0，） 评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力解决此题的关键是用好双曲线的定义[来源:Z.xx.k.Com] (3) 给出问题：F1、F2是双曲线－=1的焦点，点P在双曲线上若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由||PF1|－|PF2||=8，即|9－|PF2||=8，得|PF2|=1或17 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上 _____ 答案：|PF2|=17 解析：易知P与F1在y轴的同侧，|PF2|－|PF1|=2a，∴|PF2|=17 2.双曲线的标准方程 例2. （1）已知双曲线中心在原点，一个焦点为，点P在双曲线上，且线段的中 点坐标为（，），则此双曲线的方程是 ，离心率是 . 解析：由双曲线的焦点可知，线段PF1的中点坐标为，所以设右焦点为，则有，且，点P在双曲线右支上.所以，所以，所以，所以双曲线的方程为，离心率 (2)根据下 ... ...
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