【名师面对面】2014届数学一轮知识点讲座：考点40线面、面面垂直的判定与性质（解析版） 加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用 一.考纲目标 线面、面面垂直的定义、判定定理与性质定理及应用. 二．知识梳理 1.线面垂直定义： 如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直,其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面,交点叫做垂足 直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α 2.直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 3.直线和平面垂直的性质定理: 如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行 4.三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系； （2）推理模式： 5.三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直 推理模式： 注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用 6.两个平面垂直的定义： 两个相交成直二面角的两个平面互相垂直；相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面 7.两平面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 推理模式：， 8.两平面垂直的性质定理： 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 推理模式： 9.向量法证明直线与平面、平面与平面垂直的方法： ①证明直线与平面垂直的方法：直线的方向向量与平面的法向量平行； ②证明平面与平面垂直的方法：两平面的法向量垂直 三．考点逐个突破 1.线面位置关系的判定 例1.（1）设两个平面α，β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确命题的个数为( ) A．3 B．2 C．1 D．0 [答案] C [解析] ?α⊥β； l∥β，此时可能l?β，?/ l⊥α，此时l与α还可能平行、斜交，故选C. (2)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A．若l⊥m，m?α，则l⊥α B．若l⊥α，m?α，则l⊥m C．若l∥α，l∥m，则m∥α D．若l∥α，m∥α，则l∥m [答案] B [解析] 直线垂直于平面中两条相交直线，才能垂直于平面，故A错；C中m可能包含在平面α中；D中两条直线可能平行、相交或异面． （3）若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题： ①α⊥γ，β⊥γ?α⊥β；②α⊥γ，β∥γ?α⊥β； ③l∥α，l⊥β?α⊥β. 其中的真命题有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 [答案] C [解析] ①中α与β可能平行，故①错，②③正确． 2.线面垂直的判定与性质 例2. 如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD. (1)证明：PQ⊥平面DCQ； (2)求棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值． [解析] (1)由条件知PDAQ为直角梯形． 因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD. 又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD， 所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC. 在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，则PQ⊥QD.所以PQ⊥平面DCQ. (2)设AB＝a. 由题设知AQ为棱锥Q－ABCD的高， 所以棱锥Q－ABCD的体积V1＝a3， 由(1)知PQ为棱锥P－DCQ的高，而PQ＝a，△DCQ的面积为a2，所以棱锥P－DCQ的体积V2＝a3.故棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值为1. 3.面面垂直的判定与性质 例3. (1) 已知点P是菱 ... ...
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