本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com 【名师面对面】2014届数学一轮知识点讲座：考点36 圆锥曲线的综合问题 加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用 一.考纲目标 直线与圆锥曲线的位置的判定；弦长与距离的求法；直线与圆锥曲线相交弦长、中点弦问题. 二.知识梳理[来源:21世纪教育网] 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程． 即，消去y后得ax2＋bx＋c＝0. (1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0 直线与圆锥曲线相交； Δ＝0 直线与圆锥曲线C 相切 ； Δ<0 直线与圆锥曲线C 相离 ． (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行 若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合 ． 2．圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝|x1－x2|＝· ＝·|y1－y2|＝ · 三.考点逐个突破 1.直线与圆锥曲线的位置关系 [例1] 已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2，1)斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？[来源:21世纪教育网] [思路点拨] 直线与抛物线的公共点的个数即为直线方程与抛物线方程联立方程组解的个数，从而将两方程联立求解． [解] 由题意，得直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，由， 得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0(*) (1)当k＝0时，由方程(*)得y＝1，方程组有一个解，此时，直线与抛物线只有一个公共点． (2)当k≠0时，方程(*)的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1)． ①由Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝，∴当k＝－1或k＝时，方程组有一个解，21世纪教育网 此时，直线与抛物线只有一个公共点． ②由Δ>0，得2k2＋k－1<0解得－10，解得k<－1，或k>，∴当k<－1，或k>时，方程组无解， 此时直线与抛物线没有公共点． 综上，可得当k＝－1，或k＝0，或k＝时，直线与抛物线只有一个公共点； 当－1时，直线与抛物线没有公共点． 2.定点定值问题 [例2] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点(0,1)，离心率e＝. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线x＝my＋1与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′.试问：当m变化时，直线A′B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由． [解] (1)依题意可得 解得a＝2，b＝1.所以椭圆C的方程是＋y2＝1. (2)由 得(my＋1)2＋4y2＝4，即(m2＋4)y2＋2my－3＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A′(x1，－y1)，且y1＋y2＝－，y1y2＝－.21世纪教育网 特别地，令y1＝－1，则x1＝0，m＝1，y2＝. 此时A′(0,1)， B(，)，直线A′B：x＋4y－4＝0与x轴的交点为S(4,0)． 若直线A′B与x轴交于一个定点，则定点只能为S (4,0)． 以下证明对于任意的m，直线A′B与x轴交于定点S(4,0)． 事实上，经过点A′(x1，－y1)，B(x2，y2)的直线方程为＝. 令y＝0，得x＝y1＋x1. 只需证明y1＋x1＝4， 即证＋my1－3＝0， 即证2my1y2－3(y1＋y2)＝0. 因为2my1y2－3(y1＋y2)＝－＝0，所以2my1y2－3(y1＋y2)＝0成立． 这说明，当m变化时，直线A′B与x轴交于定点S(4,0)． 3. 最值与取值范围问题 例3. 已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，直线y＝x与椭圆在第一象限内的交点是M，M在x ... ...
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