【高分秘笈】2013中考数学 解题方法及提分突破训练：换元法专题

解题方法及提分突破训练：换元法专题 一．真题链接 1.（2011 恩施州）解方程（x-1）2-5（x-1）+4=0时，我们可以将x-1看成一个整体，设x-1=y，则原方程可化为y2-5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x-1=1，解得x=2；当y=4时，即x-1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5．则利用这种方法求得方程 （2x+5）2-4（2x+5）+3=0的解为（　　） A．x1=1，x2=3 B．x1=-2，x2=3C．x1=-3，x2=-1 D．x1=-1，x2=-2 2．（2005 温州）用换元法解方程（x2+x）2+（x2+x）=6时，如果设x2+x=y，那么原方程可变形为（　　） A．y2+y-6=0 B．y2-y-6=0 C．y2-y+6=0 D．y2+y+6=0 3.（2005 兰州）已知实数x满足 的值是（　　） A．1或-2 B．-1或2 C．1 D．-2 4．已知（x2+y2）2-（x2+y2）-12=0，则（x2+y2）的值是（　　） 二．名词释义 概念：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 经验：换元法，可以运用于因式分解、解方程或方程组等方面。换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点，进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，现举例说明. 详解：换元法主要有双换元、整体换元、均值换元，倒数换元几种形式。下面结合例题一一讲解。 三．典题事例 1.整体换元 例1 分解因式： 解：设，则 原式 评注：此题还可以设，或，或。运用换元法分解因式,是将原多项式中的某一部分巧用一个字母进行代换,从而使原多项式的结构简化,进而便于分解因式. 2．双换元 例2 分解因式： 解：设，两式相加，则 原式 例3 解方程组 解：设，. 原方程组可化为解得 ∴即解得 ∴原方程组的解为 而所谓双换元法，就是根据多项式的特征用两个字母(元)分别代换原多项式中的代数式， 3.均值换元 例4 解方程组 解：由①可设，， 即，，代入②，得 ∴. ∴ ∴原方程组的解为 说明：本题若按常规设法，可设，，此时，﹒由于出现了分数，给运算带来麻烦，因此设，，此时，，没有出现分类，使运算变得简捷. 换元的作用：①降次、②化分式方程为整式方程、③化繁为简。 4. 系数对称方程换元 例5 解方程： 分析：方程的系数相等，上面方程的系数是对称的，可以通过变形后，换元： 变形：， ， 设， 得，可解出方程。 5. 倒数换元 例6 分解因式 解：原式 四．巩固强化： 1.分解因式： 2.分解因式:. 3.解方程： ； 4. 解方程：. 5..解方程:. 6.解方程组: 7.计算: 8.解方程组 9.解方程组 10.解方程组 11.解方程组 12. 解方程。 13解方程。代入，求方程的解，并检验。 五．参考答案 真题链接答案： 1.解：（2x+5）2-4（2x+5）+3=0， 设y=2x+5， 方程可以变为 y2-4y+3=0， ∴y1=1，y2=3， 当y=1时，即2x+5=1，解得x=-2； 当y=3时，即2x+5=3，解得x=-1， 所以原方程的解为：x1=-2，x2=-1． 故选D． 2.解：把x2+x整体代换为y， y2+y=6， 即y2+y-6=0． 故选A． 3. 4.解：设x2+y2=t．则由原方程，得t2-t-12=0， ∴（t+3）（t-4）=0， ∴t+3=0或t-4=0， 解得，t=-3或t=4； 又∵t≥0， ∴t=4．故选B． 巩固强化答案： 1.解：原式 取“均值”，设 原式 2.解:设,则 原式= = = = =. 3.解: 原方程可化为: . ① 设,则方程①化为: . ② 解方程②,得 . 当时， . 解得,. 当时, . 解得,或. 经检验,知,,,都是原方程的解. 所以,原方程的解为,,,. 4.解：原方程可化为: . ① 设,则方程①化为: . ② 解方程②,得 . 当时, . 解得,. 当时, . 此方程无解. 经检验,知都是原方程的解. 所以,原方程的解为. 5.解:原方程可化为: . 即.① 设,则方程①化为: . 解得,. 当时, .② 解方程②,得 . 当时, . ... ...