§5.3 平面向量的数量积 A组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1． (2012·辽宁)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x等于 ( ) A．－1 B．－ C. D．1 答案 D 解析 a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1 x＝1. 2． (2012·重庆)设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于 ( ) A. B. C．2 D．10 答案 B 解析 ∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)， 由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，∴x＝2. 由b∥c，得1×(－4)－2y＝0，∴y＝－2. ∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)． ∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝＝. 3． 已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)， 又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.① 又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.② 联立①②解得x＝－，y＝－. 4． 在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·等于 ( ) A．－ B．－ C. D. 答案 D 解析 由于·＝||·||·cos∠BAC ＝(||2＋||2－||2)＝×(9＋4－10)＝. 二、填空题(每小题5分，共15分) 5． (2012·课标全国)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝_____. 答案 3 解析 ∵a，b的夹角为45°，|a|＝1， ∴a·b＝|a|·|b|cos 45°＝|b|， |2a－b|2＝4－4×|b|＋|b|2＝10，∴|b|＝3. 6． (2012·浙江)在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝_____. 答案 －16 解析 如图所示， ＝＋， ＝＋ ＝－， ∴·＝(＋)·(－) ＝2－2＝||2－||2＝9－25＝－16. 7． 已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是_____． 答案 (－∞，－6)∪ 解析 由a·b<0，即2λ－3<0，解得λ<，由a∥b得： 6＝－λ，即λ＝－6.因此λ<，且λ≠－6. 三、解答题(共22分) 8． (10分)已知a＝(1,2)，b＝(－2，n) (n>1)，a与b的夹角是45°. (1)求b； (2)若c与b同向，且a与c－a垂直，求c. 解 (1)a·b＝2n－2，|a|＝，|b|＝， ∴cos 45°＝＝，∴3n2－16n－12＝0， ∴n＝6或n＝－(舍)，∴b＝(－2,6)． (2)由(1)知，a·b＝10，|a|2＝5. 又c与b同向，故可设c＝λb (λ>0)，(c－a)·a＝0， ∴λb·a－|a|2＝0，∴λ＝＝＝， ∴c＝b＝(－1,3)． 9． (12分)设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 解 ∵e1·e2＝|e1|·|e2|·cos 60°＝2×1×＝1， ∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2) ＝2te＋7te＋(2t2＋7)e1·e2 ＝8t＋7t＋2t2＋7＝2t2＋15t＋7. 由已知得2t2＋15t＋7<0，解得－7
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