3.5 三角形的内切圆 【教学目标】 1．使学生了解尺规作三角形的内切圆的方法，理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念； 2．应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力； 3．激发学生动手、动脑主动参与课堂教学活动。 【教学重点】 三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质。 【教学难点】 三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质。 【教学过程】 一、提出问题 （一）提出问题：如图，你能否在△ABC中画出一个圆？画出一个最大的圆？想一想，怎样画？ （二）分析、研究问题： 让学生动脑筋、想办法，使学生认识作三角形内切圆的实际意义。 （三）解决问题： 例1．作圆，使它和已知三角形的各边都相切。 引导学生结合图，写出已知、求作，然后师生共同分析，寻找作法。 提出以下几个问题进行讨论： 1．作圆的关键是什么？ 2．假设⊙I是所求作的圆，⊙I和三角形三边都相切，圆心I应满足什么条件？ 3．这样的点I应在什么位置？ 4．圆心I确定后半径如何找。 完成这个题目后，启发学生得出如下结论：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以做出一个。 二、类比联想，学习新知识。 （一）概念：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 （二）类比： 名称 确定方法 图形 性质 外心（三角形外接圆的圆心） 三角形三边中垂线的交点。 （1）OA=OB=OC；（2）外心不一定在三角形的内部。 内心（三角形内切圆的圆心） 三角形三条角平分线的交点。 （1）到三边的距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；（3）内心在三角形内部。 （三）概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形。 （四）概念理解： 引导学生理解三角形的内切圆及圆的外切三角形的概念，并与三角形的外接圆与圆的内接三角形概念相比较，以加深对这四个概念的理解。使学生弄清“内”与“外”、“接”与“切”的含义。“接”与“切”是说明三角形的顶点和边与圆的关系：三角形的顶点都在圆上，叫做“接”；三角形的边都与圆相切叫做“切”。 三、应用与反思 例1．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，点O是三角形的内心。求∠BOC的度数。 分析：要求∠BOC的度数，只要求出∠OBC和∠0CB的度数之和就可，即求∠l十∠3的度数。因为O是△ABC的内心，所以OB和OC分别为∠ABC和∠BCA的平分线，于是有∠1+∠3＝(∠ABC十∠ACB)，再由三角形的内角和定理易求出∠BOC的度数。 解：（引导学生分析，写出解题过程） 例2．如图，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D。求证：DE＝DB。 分析：从条件想，E是内心，则E在∠A的平分线上，同时也在∠ABC的平分线上，考虑连结BE，得出∠3＝∠4。 从结论想，要证DE＝DB，只要证明BDE为等腰三角形，同样： 考虑到连结BE。于是得到下述法。 证明：连结BE。 E是△ABC的内心。 又∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=∠4+∠5 ∴∠BED=∠EBD ∴DE=DB 练习分析做出已知的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内切圆，并说明三角形的内心是否都在三角形内。 四、小结 （一）教师先向学生提出问题：这节课学习了哪些概念？怎样作已知三角形的内切圆？学习时应该注意哪些问题？ （二）学生回答的基础上，归纳总结： 1．学习了三角形内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念。 2．利用作三角形的内角平分线，任意两条角平分线的交点就是内切圆的圆心，交点到任意一边的距离是圆的半径。 3．在学习有关概念时，应注意区别“内”与“外”，“接”与“切”；还应注意“连结内心和三角形顶点”这一辅助线的添加 ... ...
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