空间向量及其运算 一、教学目标 1、了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 2、掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 3、掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． 二、教学重点 空间向量的线性运算及其坐标表示 三、教学难点 空间向量的线性运算及其坐标表示 四、教学过程 1、复习预习 （1）预习空间直角坐标系（2）预习空间向量（3）预习空间向量的线性运算及其坐标表示 2、知识讲解 知识点1：空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 0 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b 相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为－a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a∥b 共面向量 平行于同一个平面的向量 知识点2：共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. 推论 如图所示，点P在l上的充要条件是：＝＋ta ① 其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则①可化为＝＋t或＝(1－t)＋t. (2)共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝__1__. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底. 知识点3：空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 知识点4：空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. (2)共线与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 (λ∈R)，a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝＝， cos〈a，b〉＝＝ .设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)， 则dAB＝||＝. 例题讲解 考点一：用已知向量表示所求向量（利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量） 例题： （1）以下命题中，正确的命题个数为 ( ) ①若a，b共线，则a与b所在直线平行； ②若{a，b，c}为空间一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底； ③若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p； ④对空间任意一点O和不共线三点A、B、C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P、A、B、C四点共面. A.1 B.2 C.3 D.4 （2）三棱锥O—ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，. （3）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点. (1)化简－－＝_____； (2)用，，表示，则＝_____. 考点二：用空间向量的方法证明（求解）空间几何体线线（线面）关系（利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化.） 例题： （1）已知E、F、G、H分别是 ... ...
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