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课件网) 19.5角的平分线（第1课时） 第 19 章 几何证明 八年级上册数学沪教版 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 [复习与回顾] 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。 题设、结论 [“互逆”的思想] 逆命题 逆定理 定理 命题 角的平分线 “角”是轴对称图形，它的对称轴是什么？ A B O 1 2 “角的平分线”除了平分这个角以外，还有其他的性质吗？ 角平分线所在直线 C ∵OC平分∠AOB, ∴∠1=∠2 证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB, ∴∠PDO=∠PEO=90° 又∵OC是∠AOB的平分线, ∴∠1=∠2, 在△POD和△POE中 ∠PDO=∠PEO, OP=OP, ∠1=∠2, ∴△POD≌△POE (ASA) ∴PD=PE (全等三角形的对应边相等) 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E． 求证：PD=PE． 探寻逆定理 在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等。 逆命题： 到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 在一个角的内部（包括顶点）且 证明逆命题 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE 求证：P在∠AOB角平分线上 ∠1=∠2 在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 角的平分线可以看作是 在这个角的内部（包括顶点）到角两边距离相等的点的集合. 符号语言： ∵PD⊥OA，PE⊥OB且PD=PE 定理应具备条件： 1）角内部一点 2）两段垂直距离 3）距离相等 定理作用： 证明角被平分 理解逆定理 ∴∠1=∠2或点P在∠AOB角平分线上 （在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。） 用集合的思想理解角平分线： A B O C 角的平分线可以看作是在这个角的内部（包括顶点）到角两边距离相等的点的集合. 类比探究 求证：点O在∠C的平分线上. [例1]如图，AO、BO分别是∠A、∠B的平分线， OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D、E. F ∵AO平分∠BAC，OE⊥AB（已知） 证明：过点O作OF⊥AC，垂足是F。 ∴OE=OF(在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等) ∴OF=OD(等量代换) ∴点O在∠C的平分线上(在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上) OF⊥AC(作图) 本例结论可引申为——— 这个点叫做“三角形的内心”。 三角形三个内角的平分线交于一点， 同理，OE=OD 课本练习 2. 已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PN⊥AC，点M、N分别为垂足. 求证（1）PM=PN （2）AP平分∠MAN. H PM=PH PN=PH PM=PN 证明： 过点P作PH⊥BC，垂足为点H. ∵BP是∠MBC的平分线 (已知)， PM⊥AB，PH⊥BC ∴PM=PH （在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等）, 同理：PN=PH. ∴PM=PN（等量代换）. ∴点P在∠MAN的平分线上,即AP平分∠MAN. （在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）． 通过这节课的学习，你有什么收获和体会？ 1.角的平分线的性质定理： 在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等． 符号语言： ∵OP平分∠AOB PD⊥OA,PE⊥OB, ∴PD=PE （在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等）． 课堂小结 2.角平分线性质定理的逆定理： 在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 符号语言： ∴OP平分∠AOB ∵PD⊥OA,PE⊥OB, PD=PE. （在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边 距离相等的点，在这个角的平分线上）. 3. 三角形的三条角平分线交于一点，且这点到三边的距离相等． D E F G H S ∵∠1=∠2，∠3 =∠4，∠5=∠6 1 2 3 4 5 6 ∴ AG、BH、 CS交于点O. 又 OD⊥BC, OE⊥AB, OF⊥AC,垂足分别为D、E、F, ∴ OD=OE=OF. THANKS “ ” ... ...
