正态分布 1 正态分布的概念 若连续型随机变量的概率密度函数为 其中为常数，且，则称服从正态分布，简记为. 的图象称为正态曲线. 2 正态分布的期望与方差 若，则 3 正态曲线的性质 ① 曲线在轴的上方，与轴不相交； ② 曲线关于直线对称； ③ 曲线在时达到峰值； ④ 曲线与轴之间的面积为； ⑤ 当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐进线，向它无限靠近； ⑥ 曲线的形状由确定， 越大，峰值越小，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； 越小，峰值越大，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中． 4若，取值不超过的概率为区域的面积，而为区域的面积. 5 原则 假设，对于给到的,是一个只与有关的定值，特别地， 在实际应用中，通常认为服从于正态分布 的随机变量只取之间的值，并简称之为 原则. 6 标准正态分布 ① 在标准正态分布表中相应于的值是指总体取值小于的概率， 即 时，则的值可在标准正态分布表中查到； 时，可利用其图象的对称性获得来求出， ② 与的关系： 若 ，则，有； 若，则. 【题型一】正态分布的概念与性质 【典题1】已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A． B． C． D． 【典题2】 已知连续型随机变量，其正态曲线如图所示，则下列结论正确的是( ) A． B． C． D． 巩固练习 1(★) 【多选题】已知，，，则( ) A．曲线与轴围成的几何图形的面积小于 B．函数图象关于直线对称 C． D．函数在上单调递增 2(★) 【多选题】已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A． B． C． D． 3(★) 设随机变量，若，则( ) A． B． C． D． 4(★★) 设，这两个正态曲线如图所示，下列说法正确的是( ) A． B． C．若，则 D．若，则 【题型二】 正态分布的计算问题 【典题1】 已知随机变量服从正态分布，若，， 则( ) A． B． C． D． 【典题2】 随机变量服从正态分布，，，则的最小值为 ． 巩固练习 1(★★) 若随机变量服从分布，且，则( ) A． B． C． D． 2(★★) 若随机变量，若，则( ) A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 3(★★) 2012年国家开始实行法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站在统计了2019年清明节前后车辆通行数量，发现该站近几天每天通行车辆的数量服从正态分布，若，则的最小值为 ． 【题型三】 正态分布的实际应用 【典题1】 为了研究新冠疫情期间学生上网课的学习效果，学生返校复课后，某市对高三年级组织了一次调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法正确的是( ) A．本次调研考试的平均分为85 B．本次调研考试的方差为81 C．随机抽查一名学生，其成绩在125分以上的概率比成绩在45分以下的概率大 D．本次调研考试，其成绩在(75，85)和在(85，95)的人数大致一样多 【典题2】 甲、乙两类水果的质量(单位：)分别服从正态分布，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是( ) A．甲类水果的平均质量 B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【典题3】 2020年某市教育主管部门为了解近期举行的数学竞赛的情况，随机抽取500名参赛考生的数学竞赛成绩进行分析，并制成如下的频率分布直方图： (1)求这500名考生的本次数学竞赛的平均成绩精确到整数)； (2)由频率分布直方图可认为：这次竞赛成绩服从正态分布，其中近似等于样本的平均数，近似等于样本的标准差，并已求得．用该样本的频率估计总体的概率，现从该市所有考生中随机抽取10名学生，记这次数学竞赛成绩在(86，140]之外的人数为，求的值(精确到0.001)． 附：(1)当 ... ...
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