勤奋 博学 笃志 感恩 正弦定理 一、学习目标 1、掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 2、会利用正弦定理求三角形的面积，判定三角形的形状． 二、重点难点 重点：利用正弦定理解三角形 难点：正弦定理是一个连比等式，解题问题根据其比值或等量关系，要学会灵活运用． 三、知识梳理 1．在△ABC 中，A＋B＋C＝π，A2＋B2＋C2＝π2. 2．在 Rt△ABC 中，C＝π2，则ac＝sin_A，bc＝sin_B. 3．一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几 个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sina A＝sinb B＝sinc C，这个比值 是三角形外接圆的直径 2R. 5．正弦定理：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 的常见变形： (1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； (2) a ＝ b ＝ c ＝ a＋b＋c ＝2R； sin A sin B sin C sin A＋sin B＋sin C (3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； (4)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR. 6．三角形面积公式：S＝12absin C＝12bcsin A＝12casin B. 四、典例分析 题型一 利用正弦定理解三角形 例 1（1）（衡阳校级模拟）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c．已知 a=5，c=10， A=30°，则 B 等于（ ） A．105° B．60° C．15° D．105° 或 15° （2）（长沙校级模拟）在△ABC 中，已知角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c．已知 A=，a=， b=2．则 B=（ ） A． B． C． D． 1 勤奋 博学 笃志 感恩 课堂小结 (1)已知两角及一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可． (2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是 解题的难点，应引起注意． 课堂练习 1 （1）（白银模拟）已知△ABC 中，a=4，b=4，A=30°，则 B 等于（ ） A．30° B．30°或 150° C．60° D．60°或 120° （2）（岳阳校级模拟）在△ABC 中，A：B：C=1：2：3，则 a：b：c 等于（ ） A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1 题型二 正弦定理的应用 例 2.（1）（大连一模）在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且满足 acosA=bcosB，那 么△ABC 的形状一定是 （ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 （2）△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝ a，则b等于() 2 a A．2 3 B．2 2 C. 3 D. 2 2 勤奋 博学 笃志 感恩 课堂练习 2：（1）在△ABC 中，已知 a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC 的形状． （2）（朝阳区一模）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若， 则 B=（ ） A． B． C． D． 1 （3）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，C．asin B·cos C＋csin Bcos A＝2b，则 sin B ＝() A．1 B．－1 C． 3 D． 2 2 2 2 2 例 3.（1）（河南模拟）在△ABC 中，若 sinC（cosA+cosB）=sinA+sinB，则△ABC 的形状是（ ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 3 勤奋 博学 笃志 感恩 （2）（上海模拟）已知 A 为△ABC 的一个内角，且 ，则△ABC 的形状是（） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定 (3)在 ABC 中，若 a 6 ， A 60 ， b 6 ，则角 B 的度数为（ 3 ） A、 30 或150 B、 30 C、150 D、 45 课堂练习 3：（1）在△ABC 中，sin2A2＝c－2cb(a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边)，则△ABC 的形状为_____ （2）在△ABC 中，若 b＝asin C，c＝acos B，则△ABC 的形状为_____． （3）（日照二模）△ABC 的三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，A=120°，则 的值为（ ） A． B．﹣ C． D．﹣ （4） ... ...
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