第3讲 推理与证明 【高考考情解读】 1.高考主要考查对合情推理和演绎推理的理解及应用；直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列、不等式、解析几何等综合命题．2.归纳推理和类比推理等主要是和数列、不等式等内容联合考查，多以选择题和填空题的形式出现，难度中等；而考查证明问题的知识面广，涉及知识点多，题目难度较大，主要考查逻辑推理能力、归纳能力和综合能力，难度较大． 1． 合情推理 (1)归纳推理 ①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的所有对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理． ②归纳推理的思维过程如下： →→ (2)类比推理 ①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理． ②类比推理的思维过程如下： →→ 2． 演绎推理 (1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提———已知的一般性原理． ②小前提———所研究的特殊情况． ③结论———根据一般原理，对特殊情况做出的判断． (2)合情推理与演绎推理的区别 归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确． 3． 直接证明 (1)综合法 用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为 →→→…→ (2)分析法 用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为 →→→…→ 4． 间接证明 反证法的证明过程可以概括为“否定———推理———否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用如图所示的框图表示． 考点一 归纳推理 例1 (2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式： 三角形数 N(n,3)＝n2＋n， 正方形数 N(n,4)＝n2， 五边形数 N(n,5)＝n2－n， 六边形数 N(n,6)＝2n2－n ……………………………………… 可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝_____. 答案 1 000 解析 由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，…，可以推测： 当k为偶数时，N(n，k)＝n2＋n， ∴N(10,24)＝×100＋×10 ＝1 100－100＝1 000. 归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．并且在一般情况下，如果归纳的个别事物越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠． (1)在数列{an}中，若a1＝2，a2＝6，且当n∈N*时，an＋2是an·an＋1的个位数字，则a2 014等于 ( ) A．2 B．4 C．6 D．8 答案 A 解析 由a1＝2，a2＝6， 得a3＝2，a4＝2，a5＝4，a6＝8，a7＝2，a8＝6，…， 据此周期为6， 又2 014＝6×335＋4， 所以a2 014＝a4＝2，故答案选A. (2)(2012·江西)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于 ( ) A．28 B．76 C．123 D．199 答案 C 解析 令an＝an＋bn，则a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…得an＋2＝an＋an＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123. 考点二 类比推理 例2 (1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切球体 ... ...
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