班海数学精批———一本可精细批改的教辅 4 圆周角和圆心角的关系 圆周角与圆心角、弧的关系一、知识讲解：1．圆周角与圆心角的的概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。2．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。5．圆的内接四边形对角之和是180度。6．弧的度数就是圆心角的度数。解题思路：1．已知圆周角，可以利用圆周角求出圆心角2．已知圆心角，可以利用圆心角求出圆周角3．已知直径和弧度，可以求出圆周角与圆心角圆周角与圆心角的定义顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。注意圆周角定义的两个基本特征：(1)顶点在圆上；(2)两边都和圆相交。二、教学内容【1】圆心角：顶点在圆心的角。利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个基本特征：练习：判 断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．【2】理解圆周角定理的证明一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC， 求证：∠BAC= 1/2∠BOC.分析：通过图形的演示指导学生进一步去寻找圆心O与∠BAC的关系 本题有三种情况：圆心O在∠BAC的一边上 O圆心O在∠BAC的内部圆心O在∠BAC的外部 B D C如果圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明如果圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将这个角转化为上述情况的两个角的和或差即可证明:圆心O在∠BAC的一条边上 A OA=OC==>∠C=∠BAC ∠BOC=∠BAC+∠C O==>∠BAC=1/2∠BOC. B C【3】圆周角与圆心角的关系 （1）．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。（2）．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。（3）．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。（4）．圆的内接四边形对角之和是180度。 （5）．弧的度数就是圆心角的度数。三、精讲精练（一）选择、填空题：1．在⊙O中，同弦所对的圆周角（ ）A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．都不对2．如图，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（ ）A．5对 B．6对 C．7对 D．8对3．下列说法正确的是（ ）A．顶点在圆上的角是圆周角B．两边都和圆相交的角是圆周角C．圆心角是圆周角的2倍D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半4．下列说法错误的是（ ）A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相等5．如图4，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，则∠AOD= ．6．如图5，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON= ．7.⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（ ）．A、30° B、150° C、30°或150° D、60°8.△ABC中，∠B＝90°，以BC为直径作圆交AC于E，若BC=12，AB=12 ，则 的度数为（ ）．A、60° B、80° C、100° D、120°9.如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，D是AB上一点，AB与CD交于E点，则图中60°的角共有( )个．A、3 B、4 C、5 D、610.如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=25°，则∠A的度数为（ ）A、70° B、65° C、60° D、50°11.圆内接三角形三个内角所对的弧长为3:4:5，那么这个三角形内角的度数分别为_____．（二）解答题1．如图，以△ABC的BC边为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过E点作EF⊥BC，垂足为F，且BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC的长．2． 如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？3.如图，OA、OB、O ... ...
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