拓展专题2 零点问题 探究1：判断函数零点个数 【典例剖析】 例1.( 2022·江苏省四校联考) 已知函数． 若是的极大值，求的取值范围； 若，求零点的个数． 【变式训练】 练1-1(2022·湖南省湖湘名校联考) 已知函数，则函数的零点个数为 练1-2(2022·湖北省高三质检) 已知函数． 讨论的单调性； 若，讨论的零点个数． 【规律方法】 函数零点个数的判定与证明主要通过三种方法进行处理： ⑴直接求解,该方程的解的个数即为零点的个数； ⑵图像法,通过函数的图像,观察图像与轴交点的个数或是转化为两个函数图像,观察两个函数图像的交点个数；⑶利用零点存在定理进行判定,也可结合最值、极值进行处理. 探究2：已知零点个数求参 【典例剖析】 例2.(2021·湖南省常德市月考) 已知函数． 1若，求的单调性和极值； 2若函数至少有个零点，求的取值范围． 【变式训练】 练2-1(2022·广东省联考) 若函数存在两个不同零点，则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 练2-2(2022·广东省东莞市模拟) 已知函数，其中，且． 当时，求的单调区间； 若只有一个零点，求的取值范围． 【规律方法】 1.分离参数法：分离之后函数无参数,则可得到函数的图象,然后上下移动参数的值,观察直线与函数图象交点个数即可. 2.隔离构造函数法：将一个函数分成两个函数，一个为容易求导的不含参函数，另一个为图象是一条直线的含参函数，观察它们图象的变化趋势,找到临界的位置,易求得参数的取值范围,使得运算简化. 如f在上有两个零点，即函数的图象有2个交点问题. 3.直接构造法：若研究的函数均比较复杂,故直接研究函数, 对参数进行分类讨论，判断函数单调性，利用零点存在定理，判断零点个数，从而求出参数的取值范围. 探究3：隐零点问题 【典例剖析】 例3.( 2022·江苏省扬州市模拟) 已知函数其中为自然对数的底数． 讨论函数的单调性； 当时，若恒成立，求实数的取值范围． 【变式训练】 练3-1(2021·浙江省宁波市模拟) 已知函数． 若存在极值，求的取值范围 当时，求证：． 练3-2(2021·吉林省长春市模拟) 设函数， 1若，记函数的极值点个数和的零点个数分别为，，求； 2若函数有两个极值点，求实数的取值范围. 【规律方法】 在利用导数研究函数的性质时,对函数求导后,若是超越形式,我们利用高中知识无法求出函数的零点,但我们由零点存在性定理可判断零点是存在的,我们称之为隐零点. 1.不含参问题： (1)利用零点存在性定理判定零点的存在性；(2)对条件适当变形,整体代入到所研究的题；(3)对所研究问题寻找适当的零点范围,最终解决问题. 2.含参问题： (1)利用零点存在性定理判定零点的存在性；(2)对条件适当变形,整体代入到所研究的题；(3)利用零点满足的不等式(可解或不可解)准确估计零点的范围；(4)在准确的零点范围下,通过参数与零点的关系式,最终解决问题. 共5页/第5页拓展专题2 零点问题 探究1：判断函数零点个数 【典例剖析】 例1.( 2022·江苏省四校联考) 已知函数． 若是的极大值，求的取值范围； 若，求零点的个数． 【解析】因为，所以， 由得或， 当，即时，，没有极值，不满足条件； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减，是的极大值，满足条件； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，是的极小值，不满足条件， 综上得的取值范围是． 由可得或， 设，则， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因为，所以， 又，， ，， 所以在上有个不等于的零点，在上有个零点， 综上所述，所以有个零点． 【变式训练】 练1-1(2022·湖南省湖湘名校联考) 已知函数，则函数的零点个数为 【解析】，令，则． 当时，，则在上单调递增 当时，，则在上单调递减， 且， 当，当，， 所以，使得，，使得，故有两个零点． 练1-2(2022·湖北省高三质检) 已知函数． ... ...
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