拓展专题8 空间几何体的外接球与内切球（学案）-2023年高考数学二轮复习专题讲义（含解析）

拓展专题8 空间几何体的外接球和内切球问题 探究1：补形法求棱锥的外接球半径 【典例剖析】 例1. (2022·河北省·联考)在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，、、的面积分别为、、，则三棱锥的外接球的体积为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，、、的面积分别为、、， 设侧棱、、分别为，，， 则，解得，将此三棱锥补成长方体， 则体对角线即为外接球的直径：， 所以，三棱锥的外接球的体积为：， 故选A． 【变式训练】 练1-1. (2022·全国·月考) 在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的表面积是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由，，，可得， 所以．又，，且，平面， 所以平面． 以为底面，为侧棱补成一个直三棱柱， 则三棱锥的外接球即为该三棱柱的外接球． 由正弦定理，可得外接圆的半径为， 则三棱锥外接球的半径为， 故三棱锥外接球的表面积为． 故选B． 练1-2. (2022·湖南省·月考) 在三棱锥中，底面，，底面是边长为的正三角形，为的中点，球是三棱锥的外接球，若是球上一点，则三棱锥的体积的最大值是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为底面是边长为的正三角形，为的中点，所以，． 以，，为长方体的长，宽，高构造长方体， 所以长方体的外接球即为三棱锥的外接球， 因为为长方体的体对角线，所以为中点，外接球半径． 因为正三角形边长为，，底面，平面， 所以，，所以， 因为是球上一点，要使三棱锥的体积最大， 则点到平面的距离最大为球的半径与球心到平面距离之和， 因为由题可知，球与平面的截面为长方体的一侧面， 设矩形的中心即中点为，所以， 所以点到平面的距离的最大值为， 故三棱锥的体积的最大值是． 【规律方法】 求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有： 1.三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径； 2.直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径； 3.如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 探究2：先定外接球球心再求半径 【典例剖析】 例2. (2022·江苏省宿迁市·月考) 已知四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，且为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图所示，在四棱锥中， 取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为， 分别过，作两个平面的垂线交于点， 则由外接球的性质知，点即为该球的球心， 取线段的中点，连，，，，则四边形为矩形， 在等边中，可得，则，即， 在正方形中，因为，可得， 在直角中，可得，即， 所以四棱锥外接球的表面积为． 故本题选B． 【变式训练】 练2-1. (2021·湖南省·模拟) 已知一圆台的上、下底面半径分别为和，高为，且该圆台上、下底面的圆周在同一球面上，则该圆台外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】圆台的上下底半径分别为，，高，设外接球的半径为， 轴截面按圆台，如图所示， 设，为中点，若圆台的两个底面在球心的同一侧， 则，不合题意； 所以可得两个底面在球心的两侧，则， 可得，， 所以球的的表面积； 故选：． 练2-2. (2022·湖南省长沙市·月考) 在三棱锥中，平面，，与的外接圆圆心分别为，，若三棱锥的外接球的表面积为，设，，则的最大值是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】平面，平面， ， 则为直角三角形，其外心为的中点，的外心， ，又， ， 设三棱锥的外接球的为， 连接，则平面，又平面， ， ，又三棱锥的外接球的表面积为， ，即， 由可得， ，当且仅当时取等号， 的最大值是． 故选B． 【规律方法】 解决多面体的外接球问 ... ...