函数的奇偶性[上学期]

课件13张PPT。函数奇偶性对于函数f（x）=sinx 有 f（-x）= sin（-x）=- sinx=- f（x）对于函数f（x）=cosx 有 f（-x）= cos（-x）=cosx= f（x）从图象上看一般的对于函数 y = f ( x ) 在定义域 A 内任取一个 x ∈A， 则 －x ∈A1) 都有 f (－x ) = f ( x )2) 都有 f (－x ) = －f ( x )3) 都有 f (－x ) ≠ －f ( x ) 且 f (－x ) ≠ f ( x ) 则 f ( x ) 是偶函数则 f ( x ) 是非奇非偶函数则 f ( x ) 是奇函数问题：1）奇偶性在什么范围内考虑的？2）在定义域 A 内任取一个 x , 则 －x 一定在定义域 A 内吗？注意：1）奇偶性在整个定义域内考虑；2）定义域若不是关于原点对称的区间，则 f ( x ) 是非奇非偶函数；3）考虑奇偶性必需先求出定义域。1、判断下列函数是否有奇偶性： 1） f ( x ) = 6x 6 + 3x 2 + 1 2） f ( x ) = －x 3 + x 5解：此函数的定义域为 R∵ f (－x ) = 6 (－x ) 6 + 3 (－x ) 2 + 1= 6 x 6 + 3 x 2 + 1= f ( x )∴ f ( x ) 是偶函数解：此函数的定义域为 R∵ f (－x ) = － (－x ) 3 + (－x ) 5 = x 3 －x 5 = －(－x 3 + x 5 )= －f ( x )∴ f ( x ) 是奇函数3） f ( x ) = x 2 + 2x + 4 4） f ( x ) = 解：此函数的定义域为 R∵ f (－x ) = (－x ) 2 + 2 (－x ) + 4 = x 2 －x + 4∴ f ( x ) 是非奇非偶函数解：此函数的定义域为 [－2 , + ∞)∴ f ( x ) 是非奇非偶函数练习：判断函数 f ( x ) = 的奇偶性解：由题∴ 函数的定义域为 [－1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ]此时 f ( x ) = = －f ( x )故 f ( x ) 是奇函数2、已知 f ( x ) 是偶函数，而且在 (－∞ , 0 ) 上是增函数， 问 f ( x ) 在 ( 0 ，+ ∞ ) 上是增函数还是减函数？解：设 0 ＜ x 1 ＜x 2 ＜ + ∞在所证区间上取值则 － ∞ ＜ －x 2 ＜－x 1 ＜ 0∵ f ( x ) 在 (－∞ , 0 ) 上是增函数∴ f (－x 2 ) ＜ f ( －x 1 )∵ f ( x ) 是偶函数∴ f ( x 2 ) ＜ f ( x 1 )故 f ( x ) 在( 0 ，+ ∞ ) 上是减函数判定函数的奇偶性的步骤： 1）先求函数的定义域； 若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函数 若定义域是关于原点对称的区间，进入第二步； 2）计算 f (－x ) 化向 f ( x ) 的解析式； 若等于 f ( x ) ，则函数是偶函数 若等于 －f ( x ) ，则函数是奇函数 若不等于 ，则函数是非奇非偶函数 3）结论。想一想观察下列函数的奇偶性，并指出图象有何特征？奇函数关于原点成中心对称关于 y 轴成轴对称偶函数非奇非偶函数简称关于原点对称简称关于 y 轴对称不关于原点及 y 轴对称奇函数关于原点成中心对称简称关于原点对称偶函数关于 y 轴成轴对称简称关于 y 轴对称定理：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称； 反之，如果一个函数的图象关于原点（y 轴）对称，那么这个函数是 奇（偶）函数。此定理的作用：简化函数图象的画法。1）若函数是奇函数2）若函数是偶函数2、作出函数 y = x 2 － | x | －6 的图象解：当 x ≥ 0 时， y = x 2 － x －6 当 x ＜ 0 时， y = x 2 + x －6 若利用对称法作图：先作出 x ≥ 0 的图象再用对称法作出另一半的图象；可知 函数是偶函数3、已知 f ( x ) 是奇函数，当 x ≥ 0 时， f ( x ) = x 2 －2x，求当 x ＜ 0 时，f ( x ) 的解析式，并画出此函数 f ( x ) 的图象。 解：∵ f ( x ) 是奇函数∴ f (－x ) = －f ( x )即 f ( x ) = －f (－ x )∵当 x ≥ 0 时， f ( x ) = x 2 －2x∴ 当 x ＜ 0 时， f ( x ) = －f (－ x )= －[ (－x ) 2 －2(－x ) ]= －( x 2 + 2x )课堂作业1、作出下列函数的图象： 1）y = | x 2 －2 | 2）y = x 2 + 2| x | 2、已知 f ( x ) 是偶函数，当 x ≥ 0 时， f ( x ) = x 2 －2x + 1，求 当 x ＜ 0 时，f ( x ) 的式，并画出此函数 f ( x ) 的图象。解析 ... ...