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课件网) 4.1二项式定理的推导 §4 二项式定理 高二数学备课组 1.理解二项式定理的内容及有关概念，理解二项式定理的推导过程. 2.掌握二项展开式的项数、系数、二项式系数、二项式通项的特征及运用. 核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理 学习目标 新知学习 问题导入 根据多项式的乘法法则，容易知道，如果称等式的右边为左边的展开式，那么如何求出的展开式？ 二项式定理形式上的特点 (1)二项展开式有项,而不是项. (2)二项式系数都是(=0,1,2,…,),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等. (3)二项展开式中的二项式系数的和等于2,即+…+=. (4)在排列方式上,按照字母的降幂排列,从第一项起,次数由次逐项减少1次直到0次,同时字母按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到次. 即时训练 判断正误 (1)展开式中共有项． ( ) (2)在公式中，交换的顺序对各项没有影响． ( ) (3)－是展开式中的第项． ( ) (4)与的二项式展开式的二项式系数相同． ( ) × × × √ 一、二项式定理的应用 例1 （1）求的展开式. 典例剖析 解 （1）（方法一 直接利用二项式定理展开并化简） ＝（）4+（）3·+（）2·+··+· ＝81+108+54++. （方法二 先变形，再用二项式定理展开） ＝＝（81+108+54+12+1）＝81+108+54++. 关键能力·合作学习 二、求二项展开式中的特定项或其系数 例1 已知在的展开式中，第6项为常数项. （1）求；（2）求含项的系数；（3）求展开式中所有的有理项. 解 通项为+1＝＝. （1）∵ 第6项为常数项，∴ ＝5时，有＝0，即＝10. （2）令＝2，得＝（10-6）＝2，∴ 所求的系数为（-3）2＝405. （3）由题意得， 则，即＝5. ∵ ，∴应为偶数，＝2，0，-2，即＝2，5，8， ∴ 第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为405，-61 236，295 245. 题组训练 反思感悟 求二项展开式的特定项的常用方法 （1）对于常数项，隐含条件是字母的指数为0（即0次项）. （2）对于有理项，一般是先写出通项，其所有的字母的指数恰好都是整数.解这类问题必须合并通项中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解. （3）对于二项展开式中的整式项，其通项中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致. 课堂小结 1.知识清单： (1)二项式定理. (2)二项式通项、二项式系数. 2.常见误区： 混淆二项式系数与项的系数致误. ＝++…+-+…+. （＝0，1，2，…，） +1＝-
