11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 一、选择题（共10小题） 1. 甲乙两人分别利用一张长 ，宽 的纸，用两种不同的方法围成一个圆柱体（接头处不重叠），那么围成的圆柱 A. 体积相等 B. 用 作为高的体积大 C. 用 作为高的体积大 D. 以上均不对 2. 若一个球的表面积为 ，则它的体积为 A. B. C. D. 3. 一个正四棱台形油槽可以装煤油 ，若它的上、下底边长分别等于 和 ，则它的深度是 A. B. C. D. 4. 若正方体的表面积为 ，则它的体积是 A. B. C. D. 5. 如果圆锥的底面半径为 ，轴截面为等腰直角三角形，那么圆锥的表面积为 A. B. C. D. 6. 如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是 ，那么圆柱的体积等于 A. B. C. D. 7. 若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于 A. B. C. D. 8. 在 中，，，，若使该三角形绕直线 旋转一周，则所形成的几何体的体积是 A. B. C. D. 9. 圆台上、下底面面积分别是 ，，侧面积是 ，这个圆台的体积是 A. B. C. D. 10. 已知 ，， 为球 的球面上的三个点， 为 的外接圆，若 的面积为 ，，则球 的表面积为 A. B. C. D. 二、填空题（共7小题） 11. 设一个正方体与底面边长为 ，侧棱长为 的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为 ． 12. 一个正四棱台形油槽可以装煤油 升，已知它的上下底边长分别等于 和 ，则它的深度为 ． 13. 如图，长方体 的体积是 ， 为 的中点，则三棱锥 的体积是 ． 14. 将圆心角为 ，面积为 的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为 ． 15. 将边长为 的正方形以其一边所在直线为旋轴旋转一周，所得几何体的侧面积为 ． 16. 已知 ， 是球 的球面上两点，， 为该球面上的动点，若三棱锥 体积的最大值为 ，则球 的表面积为 ． 17. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为 ，，高为 ，则该圆台的母线长为 ． 三、解答题（共7小题） 18. 正四棱柱的体对角线长为 ，它的全面积为 ，求它的体积． 19. 如图，梯形 中，，，，，，在平面 内过点 作 ，将梯形 以 为轴旋转一周，求旋转体的表面积． 20. 有甲、乙两个容器，甲容器为圆柱形，高为 ，底面半径为 ，乙容器为倒置圆锥形，其高为 ，底面半径为 ，若甲容器装满水，再将其中一部分倒入乙容器，使两个容器内液面等高，求此时液面的高度． 21. 正四棱台的高、侧棱、下底面正方形的边长分别是 ，，，求它的斜高和侧面积． 22. 圆台的母线长是 ，侧面展开图的扇环的圆心角为 ，侧面积为 ，求其表面积． 23. 如图，已知正三棱锥 的底面边长为 ，高为 ，求该三棱锥的表面积和体积． 24. 已知四面体的各面都是棱长为 的正三角形，求它外接球的体积． 答案 1. C 2. A 3. D 【解析】设深度为 ，则 ，即 ，解得 ． 4. D 5. B 【解析】圆锥的轴截面如图，其母线长为 ，那么圆锥的表面积为 ． 6. D 7. C 【解析】因为圆台的母线长为 ， 所以 ． 8. A 【解析】如图： 中，绕直线 旋转一周，则所形成的几何体是以 为轴截面的圆锥中挖去了一个以 为轴截面的小圆锥后剩余的部分． 因为 ，，， 所以 ，， 设 是以 为轴截面的圆锥的体积， 是以 为轴截面的圆锥的体积． ，， 所以 ． 9. D 【解析】，，所以 ，，，所以 ，所以 ．所以 ． 10. A 【解析】设圆 半径为 ，球的半径为 ，依题意，得 ，所以 ， 由正弦定理可得 ， 所以 ，根据圆截面性质 ， 所以 ，， 所以球 的表面积 ． 11. 12. 13. 14. 【解析】如图， 设扇形的半径为 ，则 ，即 ． 所以圆锥的母线长为 ， 设圆锥的底面半径为 ，由 ，解得 ． 则圆锥的高为 ． 所以圆锥的体积为 ． 15. 16. 【解析】如图所示，设球的半径为 ， 因为 ， 所以 ， 因为 ， 而 的面积为定值， 所以当点 到平面 的距离最大时，三棱锥 的体积最大， 所以当动点 为与球的大圆面 垂直的直径的端点时，三棱锥 的体积最大 ... ...
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