《名题学典·数学》人教版八年级系列第十八章 18.2.2 菱形的判定 1.回顾： 菱形的定义： 菱形的性质： 菱形的面积公式： 2.判定菱形的两个定理： 3.请写出判定菱形的两种思路： 4.（1）请判断下列哪些条件能判定四边形ABCD是菱形的有 . ①AC⊥BD，AC与BD互相平分 ②AB=BC=CD=DA ③AB=BC，AD=CD，AC⊥BD ④AB=CD，AD=BC，AC⊥BD （2）请判断下列哪些条件能判定□ABCD是菱形的有 . ①AC⊥BD ②∠BAD=90° ③AB=BC ④AC=BD 用菱形的定义判定 学会运用菱形的定义判定菱形. 【例1】如图，四边形ABCD为平行四边形，BD为对角线，点E在AB边的延长线上，作EF∥BD，交BC边于点F，BE=BF．求证：四边形ABCD是菱形． 分析：根据平行线性质和等腰三角形性质推出∠DBC=∠DBA，推出DC=BC，根据菱形的判定推出即可． 证明：∵EF∥BD， ∴∠E=∠ABD，∠EFB=∠DBC， ∵BE=BF， ∴∠E=∠EFB， ∴∠DBC=∠DBA， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠CDB=∠DBA， ∴∠CDB=∠CBD， ∴DC=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形． 练习1 如图，在□ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E，F．已知BE=BP． 求证：（1）∠E=∠F； （2）□ABCD是菱形． 菱形的判定定理 学会用定理来判定菱形. 【例2】如图，过平行四边形ABCD对角线的交点O作两条互相垂直的直线EF、GH分别交平行四边形ABCD四边于E、G、F、H，求证：四边形EGFH是菱形． 分析：根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形．由已知条件证明OH=OG，同理OE=OF，所以四边形EFGH是平行四边形，又因为EF⊥GH，所以四边形EGFH是菱形． 证明：如图，顺次连接点E、G、F、H． 在平行四边形ABCD中，OD=OB，OA=OC，AD∥CB， ∴∠OBG=∠HDO． ∴在△OBG与△ODE中， ∠OBG＝∠ODH OB＝OD ∠BOG＝∠DOH ， ∴△OBG≌△ODE（ASA）， ∴OH=OG． 同理OE=OF， ∴四边形EFH是平行四边形， 又∵EF⊥HG， ∴平行四边形EGFH是菱形． 练习2 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CF∥BE交AD于点F，连接BF、CE．四边形BECF是菱形吗？请说明理由． 【例3】如图，点E，F分别是锐角∠A两边上的点，AE=AF，分别以点E，F为圆心，以AE的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接DE，DF． （1）请你判断所画四边形的形状，并说明理由； （2）连接EF，若AE=8厘米，∠A=60°，求线段EF的长． 分析：（1）由AE=AF=ED=DF，根据四条边都相等的四边形是菱形，即可证得：四边形AEDF是菱形； （2）首先连接EF，由AE=AF，∠A=60°，可证得△EAF是等边三角形，则可求得线段EF的长． 解：（1）菱形． 理由：∵根据题意得：AE=AF=ED=DF， ∴四边形AEDF是菱形； （2）连接EF， ∵AE=AF，∠A=60°， ∴△EAF是等边三角形， ∴EF=AE=8厘米． 练习3 已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点． 求证：四边形ADEF是菱形． 菱形的判定与性质 通过判定得到菱形，既而能用菱形的性质来求解问题. 【例4】如图，在□ABCD中，∠ABC=5∠A，过点B作BE⊥DC交AD的延长线于点E，O是垂足，且DE=DA=4cm， 求：四边形BDEC的周长和面积（结果可保留根号） 分析：根据题意可判定四边形BDEC是菱形，则可得其周长，求出AB和BE，即可求得面积. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD，AD//BC，AD=BC， 又BE⊥CD， ∴AB⊥BE， 又AD=DE， ∴BD=DE=4cm. ∵DE=BC，DE//BC, ∴四边形BCDE是平行四边形， ∵BD=DE， ∴□BCDE是菱形. 其周长为16cm. ∵5∠A=∠ABC，∠A+∠ABC=180°， ∴∠A=30°.∴在Rt△ABE中， BE=AE=4cm， 由勾股定理得AB=4cm， 则菱形BDEC的面积为： CD·BE=cm2. 练习4 如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处． （1）求证：△ABE≌△AGF； （2）连接AC，若平 ... ...
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