北京市西城区2014年高三一模试卷 数 学（理科） 2014.4 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设全集，集合，，则集合（ ） （A） （B） （C） （D） 2. 已知平面向量，，. 若，则实数的值为（ ） （A） （B） （C） （D） 3．在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是（ ） （A） （B） （C） （D） 4．执行如图所示的程序框图，如果输入，那么输出的a值为（ ） （A） （B） （C） （D） 5．下列函数中，对于任意，同时满足条件和的函数是（ ） （A） （C） （B） （D） 6． “”是“方程表示双曲线”的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（ ） （A） （B） （C）5 （D）6 8. 如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（ ） （A） 4个 （B）6个 （C）10个 （D）14个 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．设复数，其中，则_____． 10. 若抛物线的焦点在直线上，则_____；的准线方程为_____． 11．已知一个正三棱柱的所有棱长均等于2，它的俯视图是一个边长为2的正三角形，那么它的侧（左）视图面积的最小值是_____. 12．若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数的取值范围是_____. 13. 科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是_____. （用数字作答） 14．如图，在直角梯形中，，，，，，P为线段（含端点）上一个动点，设，，对于函数，给出以下三个结论： 当时，函数的值域为； ，都有成立； ，函数的最大值都等于4. 其中所有正确结论的序号是_____. 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知. （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）如果，，求△ABC的面积. 16．（本小题满分13分） 在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是优等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品. 寿命（天） 频数 频率 20 30 70 50 合计 200 （Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值； （Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了个，如果这n个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值； （Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了3个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望. 17．（本小题满分14分） 如图，在四棱柱错误！不能通过编辑域代码创建对象。中，底面和侧面错误！不能通过编辑域代码创建对象。都是矩形，是错误！不能通过编辑域代码创建对象。的中点，，错误！不能通过编辑域代码创建对象。. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：错误！不能通过编辑域代码创建对象。// 平面； （Ⅲ）若平面与平面所成的锐二面角的大小为，求线段的长度. 18．（本小题满分13分） 已知函数 其中． （Ⅰ）当时，求函数的图象在点处的切线方 ... ...
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