专题7：导数与数列不等式 数列是高中数学中的一个重要内容，在高等数学也占有重要的位置.函数与不等式是高中数学培养学生思维能力的重要内容，可以体现数学思维中的很多方法，解决两者结合在一起的问题，既要具备灵活运用数学基础知识和数学基本能力，又要具备较高的应用数学抽象、逻辑推理分析问题、解决问题的数学素养. 导数与数列中有关不等式的证明是紧密相连且互相渗透的.在复习中，我们一定要注意它们的联系，它们所涉及的问题往往是灵活应用导数与数列中有关不等式的知识，把这两者完美地结合在一起.学生要在知识的交汇点学会思考分析，达到知识的融会贯通.同时，提高自己的分析问题和解决问题的能力. 利用导数证明数列不等式，一方面以函数为背景让学生探寻函数的性质，另一方面体现数列是特殊的函数，进而利用恒成立的不等式将没有规律的数列放缩为为有具体特征的数列，巧妙地将函数、导数、数列、不等式结合在一起． 证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量．通过多次求和达到证明的目的．此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据待证式的特征而得到． 已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式)，还要注意指、对数式的互化，如可化为等． 题设情境是应用导数讨论函数的单调性、由不等式恒成立求参变量的取值范围、应用函数思想证明数列不等式.第（1）问应用导数与函数单调性的基本知识求解；第（2）问应用“带参讨论”技巧，结合同构法和放缩法推导实数的取值范围；第（3）问利用第（2）问的相关结论：，则，总有成立，通过变式与换元得到：对任意的，有，然后应用赋值法和累加法证明不等式. 例1（湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高三上学期月考）已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，，求实数的取值范围； （3）设，证明：． 【思路点拨】 第（1）问求出，讨论其符号后可得的单调性.第（2）问设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围.第（3）问由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式. 练1（浙江省2023届高三数学原创预测卷一(全国1卷)）已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围； （3）证明：对任意的正整数，不等式都成立. 练2（广东省深圳市福田区福田中学2023届高三上学期月考）已知函数． （1）对于，恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，令，求的最大值； （3）求证：． 题设情境是应用导数讨论函数的单调性、由不等式恒成立求参变量的取值范围、应用函数思想证明数列不等式.第（1）问应用导数与函数单调性的基本知识求解；第（2）问应用“特殊值法”，求得实数的取值范围，然后证明实数在该范围时，原不等式恒成立；第（3）问利用第（2）问的相关结论，结合待证不等式的结构特征，得到不等式，然后应用赋值法和累加法证明不等式. 例2（四川省内江市威远中学校2022-2023学年高三上学期月考）函数， （1）,求的单调区间； （2）若在上恒成立,求实数的取值范围； （3）令函数，求证：. 【思路点拨】 代入的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； 问题等价于，令，根据函数的单调性求出的取值范围即可； 求出，令，得到，，，，， 可得到，累加即可证明结论成立． 练3（四川省内江市威远中学校2022-2023学年高三上学期第三次月考数学）已知． （1）当时,求的极值点个数； （2）当时,,求的取值范围； （3）求证：，其中. 练4（江苏省淮安市高中 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
