解析几何综合题 1．(2013·高考福建卷)如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C 在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N. (1)若点C的纵坐标为2，求|MN|； (2)若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C的半径． 2．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相 交于A，B两点，且|AF|＋|BF|＝2，|AB|的最小值为2. (1)求椭圆E的方程； (2)若圆x2＋y2＝的切线L与椭圆E相交于P，Q两点，当P，Q两点横坐标不相等时，OP(O为坐标原点)与OQ是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由． 3．(2013·高考陕西卷)已知动圆过定点A (4，0), 且在y轴上截得弦MN的长为8. (1) 求动圆圆心的轨迹C的方程； (2) 已知点B(－1，0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是∠PBQ的角平分线， 证明直线l过定点. 4．(2014·大连市双基测试)已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，直线y＝kx(k≠0)与椭圆M 交于A、B两点，直线y＝－x与椭圆M交于C、D两点，P点坐标为(a，0)，直线PA和PB斜率的乘积为－. (1)求椭圆M的离心率； (2)若弦AC的最小值为，求椭圆M的方程． 5．(2014·济南市模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，由4个点 M(－a，b)、N(a，b)、F2和F1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形． (1)求椭圆的方程； (2)过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求△F2AB面积的最大值． 6．(2013·高考山东卷)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为， 过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. (1)求椭圆C的方程； (2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围； (3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．设直线PF1，PF2的斜率分别为k1、k2.若k≠0，试证明＋为定值，并求出这个定值． 1．解：(1)抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1. 由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1，2)， 所以点C到准线l的距离d＝2.又|CO|＝， 所以|MN|＝2＝2＝2.(4分) (2)设C，则圆C的方程为＋(y－y0)2＝＋y， 即x2－x＋y2－2y0y＝0. 由x＝－1，得y2－2y0y＋1＋＝0.(6分) 设M(－1，y1)，N(－1，y2)，则 由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y1y2|＝4，(8分) 所以＋1＝4，解得y0＝±，此时Δ＞0.所以圆心C的坐标为或，从而|CO|2＝，|CO|＝，即圆C的半径为.(12分) 2．解：(1)设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，F(c，0)(c2＝a2－b2)，|AF|＋|BF|＝2a＝2，∴a＝.(2分) 又|AB|＝＝2＝ 2，0≤x≤a2， ∴|AB|min＝2b＝2，∴b＝1， ∴椭圆E的方程为＋y2＝1.(5分) (2)由题设条件可知直线L的斜率存在，设直线L的方程为y＝kx＋m. ∵直线L与圆x2＋y2＝相切， ∴＝，∴m2＝(k2＋1)．(7分) 将y＝kx＋m代入＋y2＝1中得， (1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，Δ＝8(2k2＋1－m2)＞0. 令P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1≠x2， 则x1＋x2＝，① x1x2＝，② y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝.③(10分) ∴·＝x1x2＋y1y2＝＋＝＝0， ∴⊥，即OP与OQ垂直．(12分) 3．解： 图① (1)如图①，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|. 当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，(2分) ∴|O1M|＝. 又|O1A|＝， ∴＝. 化简得，y2＝8x(x≠0)． 当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0，0)也满足方程y2＝8x， ∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.(4分) (2)如图② 图② ，由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0. 其中Δ＝－32kb＋64>0. 由根与系数的关系得，x1＋x2＝，① x1x2＝.②(6分) ∵x轴是∠PBQ的角平分线， ∴＝－， ... ...
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