直线之间的位置关系讲义-2022-2023学年高二上学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册（含答案）

直线的位置关系-教师版 【知识梳理】 1、直线与直线的位置关系 平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交． 判别方法：当直线不平行于坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定 ： ： ： ： 平 行 且 重 合 且 相 交 垂 直 注：当直线平行于坐标轴时可结合图形考虑其位置关系． 2、相交直线的夹角 设直角坐标系平面上两条直线方程为：： ： 其夹角为，因为，所以有 向量表示： 因为，余弦函数在上单调递减，所以此时是唯一确定的 特别地，我们得到两条直线互相垂直的充要条件：. 斜率表示： 同样地，由于不是所有的直线都有斜率，因此需要按“斜率存在、斜率不存在”分类讨论． （1）若两直线的斜率都存在，当时，有公式 （2）如果直线和中有一条斜率不存在，“夹角”可借助于图形，通过直线的倾斜角求出． 3、点到直线的距离公式及两条平行线间的距离公式 1、 到 的距离： 2、 ： 【典型例题】 一、直线之间的位置关系 【例1】若三条直线：，：，：，当为何值时，三条直线不能构成三角形？ 【答案】三条直线不能构成三角形三条直线交于同一点或其中至少有两条直线平行． 若三条直线交于同一点时，解方程组， 得， 即与的交点是（），把点（）代入直线 的方程得． （2）若其中至少有两条直线平行时，由//得：； 由得:， 综上：当或或时三条直线不能构成三角形． 【例2】是直线上一点，是外一点，则方程表示的直线 （ ） （A）与重合 （B）过Q点且与 平行 （C）与相交于P点 （D）过Q点且与相交 【答案】B； 【例3】无论m、n取何实数，直线(3m－n)x＋(m＋2n)y－n＝0都过一定点P，则P点坐标为（ ） A．（－1，3） B．（－，） C．（－，） D．（－） 【答案】D； 【例4】已知直线的方程为 （1）求证：不论取何值，直线过定点； （2）记定点为P，若直线垂直OP，求实数a的值． 【答案】(1)，当时，直线过直线与的交点，即过(1，2)． 易得直线的方向向量为．由题设即，得a＝5． 二、直线的夹角 【例5】根据下列题意，回答： （1）直线和的夹角为 ； （2）直线和直线的夹角为，则 ； （3）直线和直线平行，则 ． 【答案】（1）或； （2）0； （3）或； 【例6】已知直线过点，且与直线夹角为，求直线的方程． 【答案】或 【解析】设的方程为（其中为的一法向量）， 则即 化简为 解方程，得 当时，则，此时方程为 当时，方程为，即 综上， 的方程是或． 【例7】在中，、，的平分线方程为：，求所在的直线方程； 【答案】； 【例8】已知两直线，，其中为实数，当两条直线的夹角在内变动时，求实数的取值范围． 【答案】； 三、点到直线的距离 【例9】（1）过点与坐标原点距离为2的直线方程是_____； （2）若点到直线的距离都等于3，直线的方程是_____； （3）已知是分别经过两点的两条平行直线，当之间的距离最大时，直线的方程是_____． 【答案】（1）与； （2）和，，； （3）； 【例10】过点引直线，使、到它的距离相等，求的方程． 【答案】或； 【例11】已知与．直线过点与点，则坐标原点到直线的距离为 ． 【答案】1； 【例12】已知点，求： （1）过点与原点距离为2的直线l的方程； （2）过点与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少 （3）是否存在过点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）x=2或3x－4y－10=0．（2）（3）不存在 【解析】（1）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为， 可见，过P（2，－1）垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x=2． 若斜率存在，设l的方程为y+1=k（x－2），即kx－y－2k－1=0． 由已知，得=2，解之得k=．此时l的方程为3x－4y－10=0．综上， 可得直线l的方程为x=2或3x－4y－10=0． （2）作图可证过P点与原点O距离最 ... ...