第一章 专项突破练一 求数列通项公式（课件 学案 练习）高中数学 北师大版（2019）选择性必修 第二册

专项突破练一　求数列通项公式 题型一 例1　(1)7　　[解析] 由题意可得a1=1,an+1-an=n,则an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+1+2+…+(n-1)=1+=(n≥2),所以a4==7.因为a1=1也满足an=,所以an=. (2)解:∵an=an-1(n≥2),∴an-1=an-2,…,a2=a1,由以上(n-1)个式子得an=a1××…××==(n≥2), ∵a1=1也满足上式,∴an=. 变式　(1)　(2)B　[解析] (1)由an+1=2nan,得=2n-1(n≥2),所以an=··…··a1=2n-1×2n-2×…×2×1=21+2+…+(n-2)+(n-1)=(n≥2).又a1=1满足上式,所以an=. (2)根据题意知,数列{an}满足an-an-1=n-1(n≥2),a1=2, 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(n-1)+(n-2)+…+2+1+2=+2(n≥2), 则该数列的第31项为a31=+2=467.故选B. (3)解:∵an=n(an+1-an),∴=, ∴=,=,=,…,=(n≥2), 以上各式两边分别相乘,得=×××…×. 又a1=1,∴an=n(n≥2).∵a1=1也满足上式,∴an=n. 题型二 例2　解:设an+1-t=2(an-t),则an+1=2an-t,由an+1=2an+3得t=-3,故an+1+3=2(an+3).令bn=an+3,则b1=a1+3=5,且==2,所以{bn}是以5为首项,2为公比的等比数列,所以bn=5×2n-1,故an=5×2n-1-3. 变式　解:(1)令n=2,可得a2=2a1; 令n=3,可得a3=a2+1=2a1+1. 因为S3=a1+a2+a3=5a1+1=1,所以a1=0,a2=0. (2)当n为偶数时,an=2an-1,an+1=an+1=2an-1+1,an+2=2an+1=2(an+1)=2an+2, 可得an+2+2=2(an+2),an+1+1=2(an-1+1)(n≥2)且a2+2=2,a1+1=1, 可知数列{an+2}的偶数项构成首项为2,公比为2的等比数列,数列{an+1}的奇数项构成首项为1,公比为2的等比数列, 则an+2=2×=(n为偶数),an+1=(n为奇数),所以an= 题型三 例3　　[解析] 当n=1时,a1=S1=a1+,所以a1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-an-1,所以=-,所以数列{an}是首项为1,公比为-的等比数列,故an=. 变式　解:因为2Sn=(n+1)an,所以2Sn-1=nan-1(n≥2), 两式作差得2an=(n+1)an-nan-1(n≥2),则=(n≥2), 所以×××…×=××…×(n≥2), 则=n(n≥2),所以an=n(n≥2),又a1=1满足上式,所以an=n.专项突破练一　求数列通项公式 1.A　[解析] 由=2得an+1-an=2n,当n≥2时,an-an-1=2(n-1),则当n≥2时an=a1+(a2-a1)+…+(an-an-1)=15+2+4+…+2(n-1)=15+×(n-1)=n2-n+15,因为a1=15符合上式,所以an=n2-n+15,故选A. 2.C　[解析] an=Sn+2,令n=1,得a1=8,又an+1=Sn+1+2,所以an+1-an=(Sn+1-Sn),即an+1=4an,故数列{an}是等比数列,且首项为8,公比为4,则an=8×4n-1=22n+1,所以bn=log2an=2n+1,所以b1010=2×1010+1=2021.故选C. 3.A　[解析] 当n=1时,a1=S1=2+3=5;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2+3n-2(n-1)2-3(n-1)=4n-2+3=4n+1,因为a1=5满足上式,所以an=4n+1.故选A. 4.D　[解析] 因为=(n∈N*),所以=,=,=,…,=(n≥2),则=×××…×==(n≥2),又a1=1,所以an=(n≥2),又a1=1满足上式,所以an=.故选D. 5.C　[解析] 因为an+1=2an+3,所以an+1+3=2(an+3),又a1+3=4≠0,所以数列{an+3}是首项为4,公比为2的等比数列,所以an+3=4×2n-1=2n+1,则an=2n+1-3,所以a9=210-3.故选C. 6.D　[解析] 由an+1+an=3×2n得an+1-2n+1=-(an-2n),又a1-21=-1,所以{an-2n}是首项为-1,公比为-1的等比数列,所以an-2n=(-1)n,即an=2n+(-1)n,所以S100=21+22+…+299+2100+(-1)+(-1)2+…+(-1)99+(-1)100=+0=2101-2.故选D. 7.AB　[解析] ∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1),又a1+1=2,∴数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,B正确;由B知an+1=2n,∴an=2n-1,C错误;a3=7,A正确;Sn=(21-1)+(22-1)+…+(2n-1)=2+22+…+2n-n=-n=2n+1-n-2,D错误.故选AB. 8.ABD　[解析] ∵an+1=2Sn,∴Sn+1-Sn=2Sn,即=3,∴数列{Sn}是首项S1=a1=1,公比q=3的等比数列,则Sn=1×3n-1=3n-1,故A,B正确;an=Sn-Sn-1=3n-1-3n-2=2·3n-2(n≥2),显然a1=1不符合上式,则an=故C错误,D正确.故选ABD. 9.n　[解析] 因为a1=1,an+1=·an,所以=,所以为常数 ... ...