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课件网) 圆锥曲线中的证明与探索性问题 2023届高考数学复习专题★★ 技法一 代数运算巧证明 【模型解法】 圆锥曲线证明问题,常见的有位置关系和数量关系,位置关系证明有相切、垂直、过定点等；数量关系证明有存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等.其解题策略为： 例1 （2022·新高考卷Ⅱ）已知双曲线
的右焦点为
，渐近线方程为
． （1）求
的方程； 【解】由题意得
①. 因为双曲线的渐近线方程为
， 所以
②. 又
③，所以联立①②③得
，
． 所以双曲线
的方程为
. （2）过
的直线与
的两条渐近线分别交于
，
两点，点
,
在
上，且
,
．过
且斜率为
的直线与过
且斜率为
的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立. ①
在
上；②
；③
． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 【解】由题意知直线
的斜率存在且不为0，设直线
的方程为
，将直线
的方程代入
的方程，整理得
, 则
，
， 所以
， 所以
. 设点
的坐标为
， 则
两式相减，得
， 又
， 所以
, 解得
； 两式相加，得
， 又
， 所以
， 解得
. 因此，点
的轨迹为直线
，其中
为直线
的斜率. 若选择①②：因为
，所以直线
的方程为
，设
，
， 不妨令点
在直线
上， 则由
解得
，
， 同理可得
，
， 所以
，
. 点
的坐标满足
得
，
, 故
为
的中点，即
. 若选择①③：当直线
的斜率不存在时，点
即为点
，此时
不在直线
上，矛盾. 当直线
的斜率存在时，易知直线
的斜率不为0，设直线
的方程为
，
，
， 不妨令点
在直线
上， 则由
解得
，
， 同理可得
，
, 因为
在
上，且
， 所以
,
, 又点
在直线
上，所以
， 解得
，因此
. 若选择②③：因为
，所以直线
的方程为
，设
，
， 不妨令点
在直线
上， 则由
解得
，
， 同理可得
，
. 设
的中点为
，则
，
. 因为
，所以
在
的垂直平分线上， 即点
在直线
，即
上， 与
联立，得
，
, 即点
恰为
的中点，故点
在直线
上. 圆锥曲线中证明问题的求解策略 处理圆锥曲线中的证明问题常采用直接法证明，证明时常借助于等价转化思想，化几何关系为数量关系，然后借助函数方程思想、数形结合思想解决. （2022·高三名校联考信息卷（二））已知动点
到点
的距离等于它到直线
的距离，记点
的轨迹为
. （1）求
的方程； 解：根据 ... ...
