8.3.3球体的表面积与体积--2022-2023学年高一数学同步精讲课件（共26张PPT）

(课件网) §8.3.3 球体的表面积与体积 §8.3 简单几何体的表面积与体积 球体的表面积和体积公式的推导 球体的表面积和体积公式的应用 球的切接问题 小结及随堂练习 温故知新 表面积 体积 多 面 体 棱柱 = 棱锥 = 棱台 = 旋 转 体 圆柱 = 圆锥 = 圆台 = 球体的表面积和体积公式的推导 01 讲授新知 设球的半径为，它的表面积和体积只与半径有关，都是以为自变量的函数。 事实上，如果球的半径为，那么它的表面积是： 它的体积是： 探究新知 这两个公式怎么推导出来的呢？ ①先探究球的体积公式 思路1：利用容器水位变换算体积 能求出体积，但没有计算公式 思路2：根据圆柱和圆锥公式猜测体积公式 下图中三个旋转体的高都等于底面半径 探究新知 验证： 祖暅原理 幂势既同，则积不容异 探究新知 结论： 探究新知 ②再探究球的表面积公式 我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”.他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，“割之弥细，所失弥小”.这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”.这是世界上最早的“极限”思想. 探究新知 ②再探究球的表面积公式 小三角形面积和 思路总结：先分割，再求和 探究新知 ②再探究球的表面积公式 球的体积，等于所有小棱锥的体积和 极限思想 球体的表面积和体积公式的推导 02 应用新知 题型一：球的表面积和体积 例1.如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是， 圆柱高.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要涂料， 那么给个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(取) 解：一个浮标的表面积为， 所以给个这样的浮标涂防水漆约需涂料. 例2.如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比. 解：设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为. ∵，， ∴. 应用新知 题型一：球的表面积和体积 本节我们学习了柱体、锥体、台体、球的表面积与体积的计算方法.在生产、生活中遇到的物体，往往形状比较复杂，但很多物体都可以看作是由这些简单几何体组合而成的，它们的表面积与体积可以利用这些简单几何体的表面积与体积来计算. 1.球的体积与表面积的求法：必须知道半径或者通过条件能求出半径，然后代入体积或表面积公式求解. 2.关键要素：半径和球心是球的关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就轻松自如了. 典例精析 题型二：球的截面问题 例3.一平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个平面的距离是，则 该球的体积是( ). A. B. C. D. 解：设球心为，截面圆心为，连接，则垂直于截面圆， 如图所示.在中，，， ∴球的半径， ∴球的体积.故选B. 典例精析 题型二：球的截面问题 性质1: 用一个平面去截球，截面是圆面； 性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于截面． 性质3: 球心到截面的距离与球的半径及截面的 半径的关系: 球的截面问题 O1 例4.已知知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这 两个截面间的距离为_____． 解：若两个平行截面在球心同侧，则两个截面间的距离为1； 若两个平行截面在球心异侧，则两个截面间的距离为7. 球的切接问题 03 典例精析 题型三：球的切接问题 一、类型及其含义 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，称这个球是这个多面体的内切球，这个多面体是这个球的外切多面体。 内切球 若一个多面体的各棱都与一个球的球面相切，称这个球是这个多面体的棱切球. 棱切球 一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，称这个球是这个多面体的外接球，这个多面体是这个球的内接多面体. 外接球 典例精析 二、常用几何体及其结论———正方体 特征 半径 立体图 截 ... ...