中小学教育资源及组卷应用平台 专题18胡不归、阿氏圆、费马点 专题价值 在各地的模拟试卷中,有时会出现基于“胡不归”、“阿波罗尼斯圆”“费马点”等背景的最值问题.这类问题虽然在中考中不一定会出现,但常会运用其解题思想与方法,考查变式.因此对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要.在中考复习中,应多以中考模拟或中考真题为例,从解法对比中寻求解决此类问题的通性做法,并对其进行改进与延伸,通过不同角度和深度的挖掘,理解此类问题的全貌,感悟解决此类问题的方法. 常用解题思路 一、胡不归 【模型背景】有一则古老的历史故事:一个身在他乡的小伙子,得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家.然而,当他气喘吁吁地来到父亲的面前时,老人刚刚咽气.人们告诉他,在弥留之际,老人在不断喃喃的叨念：“胡不归？胡不归？……”早期的科学家曾为这则古老传说中的小伙子设想了了一条路线:如图所示,是出发地,是目的地;是一条驿道,而驿道靠目的地的一侧全是砂土地带.为了急切回家,小伙子选择了直线路程.但是,他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带上行走快的这一因素.如果他能选择一条合适的路线(尽管这条路线长一些,但是速度却可以加快),是可以提前抵达家门的. 那么,他应该选择那条路线呢 显然,根据两种路面的状况和在其上行走的速度值,可以在上选定一点,小伙子从走到,然后从折往,有望最早到达目的地. 用现代的数学语言表达出来就是: 已知在驿道和砂地上行走的速度分别为和,在上找一定点,使从至、再从至的行走时间最短. 于是,问题在于如何去找出点. 【模型解决】不妨假设在与上行走的速度为每秒钟1个单位长度,在上行走的速度为每秒钟2个单位长度,整个运动时间,现在最大的难点在于如何表达 联想到,过点构建一条射线,使得,过点作,垂足为,不难得出. 于是整个运动时间,要使最小,就是要找点,使得最小.根据垂线段最呏,过作,垂足为交于,此时为用时最少的,显然要少于走所需的时间(注:走也可看成的特殊情况),因此与的交点即为所求. 【模型提炼】由此,我们不难得出“胡不归问题”的核心解题思想就是“折转直”,并得到基本解题步 : 第一步,在目的点关于速度快的线段相异的一侧，过出发点作一条射线,使之与该线段构成的角满足;第二步,过目的点作该射线的垂线;第三步,该垂线与线段的交点即为所求. 二、阿波罗尼斯圆一一求的最小值 【模型背景】已知平面上两点,则所有满足且不等于1的点的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称阿波罗尼斯圆,又称阿氏圆. 如图1,是定点,是上一动点,,求的最小值. 图1 图2 【模型解决】如图2,在上找一个定点,使得,构建出子母相似,即有,从而可得. 【模型提练】(1)是这个问题存在初等解的前提条件,也是构造出新的变式的一个基础;(2)这类问题的解决思路,与传统的“将军饮马”类问题在思想方法上是一致的,即:将中的转化为,这样,最小值的问题就转化为求的最小值,从而把此类问题转化到“两点之间,线段最短”这个模型.而与“将军饮马”不同之处就在于如何将转化为,“将军饮马”类问题是通过作已知点关于直线的对称点来完成这个目标,而这类问题必须构造相似三角形中“子母型”这个数学模型,从而完成转化. 三、费马点 【模型背景】“将军巡营”的问题如下:在一大片的开阔地上有三座军营,且三座军营不在同一直线上,将军经常要去巡视.他从自己的指挥所出发,到达第一座军营后回到指挥所;再到第二座军营后回到指挥所;最后到第三座军营再回到指挥所.将军把指挥所设在何处,使得所走的总路径和最短 其数学模型如下:如图1,在内找一点,使得有最小值. 图1 图2 其实,“将军巡营”问题就是数学界大名鼎鼎的“费马点”问题,满足条件的点被称为“费马点”.法国业余数学家费马因提出了数学界的三大猜想之一“费马猜想”而享誉数学 ... ...
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