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课件网) 解析几何中的定量问题 2023届高考数学复习专题 ★★ 一、定量问题的思想方法 思想方法：定量问题包括定点，定值，定角，定直线， 定面积等等。小题可以特殊化、极端化猜测得出，大 题则一般可以先猜再证。 能力要求： （1）会猜———特殊化，极端化 （2）会证——— ①设方程（直线通常为y=kx+b或x=my+n) ②联立方程组得关键方程 ③转化几何条件建立代数关系 ④利用韦达定理建立等式，统一参数字母 ⑤求出定量 二、定点问题 例1、抛物线 （1）过原点 作两条互相垂直的弦 ，则直线 过定点为 O A B 解析：小题猜测：根据对称性，定点肯定在x轴上， 再取 ，易得 猜测定点 证：证明方法很多，这里略举几种， 后面的例题通法为主。 (一)抛物线类 思路1：设直线AB(2字母) O A B 代入抛物线得关键方程(2字母) OA⊥OB统一字母(1字母) 得定点 O A B 法1：设 思路2：设直线OA，OB(1字母) O A B 代入抛物线解得A,B点 得直线AB方程(1字母) 得定点 O A B 法2： 思路3：设点A，B(4字母) O A B 代入抛物线消掉2字母 得直线AB方程(2字母) 得定点 OA⊥OB统一字母(1字母) O A B 法3：设 规律：直线(曲线)过定点问题实质是方程与动量(变量)无关，这里的变量要合理选取，如斜率、截距、坐标等。在处理过程中，可以统一成一个变量，或统一成某个变量整体结构去解决问题。 （2）过任意一点 作两条互相垂直的弦 ， 则直线 过定点为 解析：小题猜测：极端性，当 水平时 此时 在无穷远处， ，直线 所以定点纵坐标为 O A B P 当 竖直时，设为 ， 代入抛物线方程， 猜测定点为 思路1：设直线点PA，PB(1字母) 代入抛物线得A,B坐标 得直线AB方程(1字母) 得定点 O A B P 法1： O A B P 思路1：设点A，B(4字母) 代入抛物线消掉2字母 得直线AB方程(2字母) 得定点 PA⊥PB统一字母(1字母) O A B P 法1： O A B P 思路2：设直线AB(2字母) 代入抛物线得关键方程 k1k2=-1统一字母 代直线AB方程(1字母） 得定点 O A B P 法2： 解析：小题猜测：极端性，当 水平时， 此时 ，所以定点纵坐标为 1、过原点 作抛物线 两条弦 ， 倾斜角分别为 ， (1)若 ，则直线 过定点为 当 时， ， 所以定点为 的交点。 跟踪练习 证：设 (2)若 ，则直线 过定点为 解析： ，证明思路：注意 无意义， 则 (3)若 ，则直线 过定点为 证：设 ② ① (4)过准线上任意一点 作两条切线 ，切点为 ，则直线 过定点为 解析： ，特殊化猜测。 证：设 O A B P 2、已知抛物线方程为 ，过点 作抛物线的两条弦 ，且 斜率为 满足 ，则直线 过定点 的 坐标为 O M(1,2) F E 思路1：设直线ME(1字母) 代入抛物线得E点 O M(1,2) F E 类比得F点 得直线EF方程(1字母） 得定点 解析：法1： 方程有一根为2，由韦达定理得另一根为 思路2：设直线EF(2字母),点M,N(4字母) 代入抛物线得关键方程 O M(1,2) F E k1k2=1统一字母 代直线EF方程(1字母） 得定点 法2： 例3、椭圆 （1）以左顶点 为直角顶点的 的顶点都在 椭圆上，则斜边 过定点 A M N (二)椭圆类 思路1：特殊化取AM:y=x+2 代入椭圆得M,N坐标(1字母) 得直线AB方程(1字母) 猜测得定点坐标再证明 A M N 解析： 思路2：设直线MN(2字母) 代入椭圆得关键方程(2字母) 得直线AB方程(1字母) 得定点 AM⊥AN统一字母(1字母) A M N 解析： （2）设 ， 为椭圆上关于 轴对称的任意 两点， 交椭圆另一点于 ，则直线 过定点 P M N E 思路：设点M,N,E(4字母)，直线PN方程x=my+4(1字母) 得直线ME方程(1字母) 得定点 直线PN与椭圆联立(3字母可统一成1个) P(4,0) M(x1,-y1) N(x1, y1) E(x2,y2) N,E,P在直线PN上(3字母y1,y2,m) 解析：当M,N重合，则ME:x=0，所以定点纵坐标为0 P(4,0) M(x1,-y1) N(x1, y1) E(x2,y2) ... ...
