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课件网) 2023届高考数学复习专题 ★★ 洛必达法则 一、洛必达法则 2、结构：高中主要用于 ， 两种类型 其他结构需转化才能应用。 1、功能：用于求极限值。 解读洛必达法则： 洛必达：1661-1704 法国数学家 3、注意事项：未定式可以连续应用， 已定式不能再用。 二、洛必达法则求极限 例1.求 解析： 型 二、洛必达法则求极限 例2.求 解析：不适合条件，需转化 例3.求 解析： 例4.求 解析： 注意： 为已定式，不能再用洛必达法则。 例5.若 ，求 解析： 三、洛必达法则的应用 1.不等式恒成立或能成立题目。 适用题型： 2.能分离参数成 或 ，归结 为求 的某个最值(或其极限值)问题。 3.常规方法不易求得最值或其极限值(往往 多次求导后仍为超越结构)。 4.在某个端点或断点处应用洛必达法则猜测 出最值(或极限值)后需要证明。 的解集为 ，若存在，求出 （2）是否存在实数 ，使得关于 的不等式 （1）求 例题选讲 的单调区间和极值； 的范围；不存在，说明理由。 解析:(1)略。 (2)分析：注意定义域 ，题目等价于 说明：对 和 哪个端点求极限？ 法1、两个都求取小； 法2、取特殊值比较取舍。 例2.(08全国理2） （1）求f(x)单调区间； （2）若对 都有 ,求a范围。 解析：(1)略 (2) 当 时， 当 时， 为必要条件 下证 因为 所以 所以 证(1)：不等式证明结构较复杂时可以考虑变形后证明。 构造函数 求导，判断单调性解决（略） (2)恒(能)不等式两种思路： 不分离参数函数法分析(要讨论参数)； 分离参数考虑最值(必要时用洛必达法则)。 这里主要提供第二种思路。 ①若 ，则 在 必能小于0, 所以不等式不可能恒成立(舍) ②若 ，若 ，恒成立 若 ，则 注意 用导数法判断单调性难以解决，所以猜测最小 极限值点在0或 下面求 , 的最小值或最小极限值。 位置， 由洛必达法则： 为必要条件。 下证 因为 ， 所以 在 增 所以 在 增 所以 解析:(1) (2)即 ， 恒成立 所以猜测 下证 当 时， 因为 所以 在 增，所以 所以 在 减，所以 所以 同理可证 时 所以 例5.复旦周考3（21）：已知函数 （1）当 时，求 的最小值； 时， 恒成立，求实数 的取值范围。 （2）若 解析:(1) (2) 法1： 对 恒成立 时， ① ② 时， 恒成立 猜测 下证： 即需证 令 因为 所以 增，所以 得证。 所以 法2：令 即， 对 恒成立 令 轴 ， ， g(t) t0 1 3 ①若 时， 则 在 必有唯一零点 所以 在 减， 增 ，所以 不适合。 ②若 时， 在 增，因为 ，显然适合 所以 法3： 对 恒成立，即 考虑函数 ， (都过定点(1,2)) 所以 在 减， 增 3 2 （1，2） 1 因为 ，所以 在 为凹函数 所以 例6. 巴蜀周考6（22）：已知函数 （1）当 时，求函数 在 上的最小值； 在 上恒成立，求实数 的取值范围。 （2）若 (2)法1： 对 恒成立 又 所以 所以 在 减 解析：(1) 即 对 恒成立 法2： 即 对 上恒成立 注意 ①若 ，则 在 减，所以 适合 ②若 ，令 所以 在 减， 增。 1）若 时，则 在 增， ，则在该区间 不适合； 2）若 时，则 在 减，所以 适合。 综上： 法3：即 ，考虑函数 (都过点(0,m)) ①当 时， 在 减， 在 增，适合； m m ② 当 时，适合； 时， 在 增。 ③当 此时需 综上： 1.(2010全国新课标） （1）a=0时，求f(x)单调区间； （2）若 时都有 ，求a范围。 跟踪练习 2.关于x的不等式 在 有解，求实数a的取值范围。 3.(2011武汉调研） 时，不等式 恒成立，求实数a的取值范围。 ... ...
