山东省济南外国语学校八年级奥术三级跳（2013数学冬令营培训材料）第一跳（分析试题）：第6讲：全等三角形（30分钟训练+50分钟评讲）

第6讲：全等三角形 【知识梳理】 1、全等三角形：全等三角形、能够完全重合的两个三角形。 2、全等三角形的判定方法有： “SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL” 3、 全等三角形的性质： （1）全等三角形的对应角相等，对应线段（边、高、中线、角平分线）相等。 （2）全等三角形的周长、面积相等。 4、全等三角形常见辅助线的作法有以下几种： 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向 角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取 一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 【例题精讲】 ◆例1：已知，如图△ABC中，AB＝5，AC＝3，则中线AD的取值范围是_____. 【巩固】如图所示，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证: AF＝EF. ◆例2：已知等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，BD平分∠ABC，求证：AB＝BC＋CD 【巩固】 1、已知△ABC中，AD平分∠BAC，AB＞AC，求证：AB－AC＝BD－DC 2、如图所示，已知四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，求证: BC＋DC＝AC. ◆例3：如图，已知在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O 求证：OE＝OD ◆例4：如图，在△ABC中，∠BAC的平分 线与BC的垂直平分线PQ的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM ⊥AC于点M 求证：BN＝CM ◆例5：AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A，E为MN上一点，△ABC周长记为，△EBC周长记为。求证＞. 【拓展】正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度数. 【课后练习】 1、如图，∠BAC＝60°，∠C＝40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q 求证：AB＋BP＝BQ＋AQ 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE＋CF与EF的大小. 3、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE＝CF的理由； （2）如果AB＝，AC＝，求AE、BE的长. ... ...