山东省济南外国语学校八年级奥术三级跳（2013数学冬令营培训材料）第二跳（思维训练）：第九讲：平行四边形（提高篇）（30分钟训练+50分钟评讲）

山东省济南外国语学校八年级奥术三级跳（2013数学冬令营培训材料）第二跳（思维训练）：第十讲：梯 形（30分钟训练+50分钟评讲）第十讲：梯 形 【知识梳理】 与平行四边形一样，梯形也是一种特殊的四边形，其中等腰梯形与直角梯形占有重要地位，本讲就来研究它们的有关性质的应用。 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形，等腰梯形是一类特殊的梯形，其判定和性质定理与等腰三角形的判定和性质类似。 通过作辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，这是解梯形问题的基本思路，常用的辅助线的作法是： 平移腰：过一顶点作一腰的平行线； 平移对角线：过一顶点作一条对角线的平行线； 过底的顶点作另一底的垂线。 熟悉以下基本图形、基本结论： 【例题精讲】 中位线概念： (1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． (2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． 三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并等于第三边的一半。 梯形的中位线性质：梯形的中位线平行于两底，并等于两底和的一半。 【例题精讲】 【例1】如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点。 （1）求证：四边形MENF是菱形； （2）若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论。 【巩固】如图，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝DC，AD＝2，BC＝4，延长BC到E，使CE＝AD． （1）写出图中所有与△DCE全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由； （2）探究当等腰梯形ABCD的高DF是多少时，对角线AC与BD互相垂直？请回答并说明理由． 【例2】已知：如图，在梯形ABCD中， AB∥CD，∠A＝60°，AD＝BC＝DC 求证：. 【巩固】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，若AD＝a，AB＝b，则CD的长是_____。 【例3】如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC ， E、F 分别是AD 、BC 的中点，若∠B＋∠C＝90°.AD ＝ 7 ，BC ＝ 15 ，求EF ． 【例4】已知：如图，在梯形ABCD中， AB∥CD，AC＝BD . 求证：梯形ABCD 是等腰梯形. 【例5】已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，且AE⊥BE. 求证：AD＋BC＝AB 【巩固】如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，且AD＋BC＝AB 求证：DE⊥AE。 【例6】如图，梯形ABCD中，AB∥CD，CE 、BE 分别平分∠C和∠B，E 为AD的中点。 求证：AB＋DC＝BC ．