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课件网) §4 平 行 关 系 4.1 直线与平面平行 必备知识·自主学习 1.直线与平面平行的性质定理 文字叙述:一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么 该直线与_____平行. 符号表示:l∥α,l β,α∩β=a l∥a. 图形表示: 导思 1.线面平行能得到线线平行吗 2.怎样判定直线与平面平行呢 交线 【思考】 “线线平行”是“线面平行”的什么条件呢 提示:“线面平行”的性质定理推出了“线线平行”,所以“线线平行”是“线面平行”的必要条件. 2.直线与平面平行的判定定理 文字叙述:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线_____,那么该直线与此 平面平行. 符号表示:l α,a α,且l∥a l∥α. 图形表示: 作用:证明直线与平面平行. 平行 【思考】 由“线线平行”判定了“线面平行”,那么“线线平行”是“线面平行”的什么条件 提示:由“线线平行”判定了“线面平行”,即“线线平行”是“线面平行”的充分条件. 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)如果一条直线和一个平面内的另一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. ( ) (2)若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α. ( ) (3)若直线a∥b,直线b α,则a∥α. ( ) (4)直线l∥平面α,直线a 平面α,直线l与直线a一定平行. ( ) 提示:(1)×.也有可能这条直线在这个平面内; (2)×.直线在平面内也可以和平面内的无数条直线平行; (3)×.直线a必须在平面外; (4)×.直线l与直线a可能平行也可能异面. 2.能保证直线a与平面α平行的条件是 ( ) A.b α,a∥b B.b α,c∥α,a∥b,a∥c C.b α,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BD D.a α,b α,a∥b 【解析】选D.由线面平行的判定定理可知,D正确. 3.(教材二次开发:例题改编)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则A1C1与平面ACE的位置关系为_____. 【解析】因为A1C1∥AC,A1C1 平面ACE,AC 平面ACE, 所以A1C1∥平面ACE. 答案:平行 关键能力·合作学习 类型一 直线与平面平行性质定理的应用(直观想象、逻辑推理) 【题组训练】 1.设AB,BC,CD是不在同一平面内的三条线段,则经过它们的中点的平面和直线AC的位置关系是 ( ) A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.AC在此平面内 2.已知两条相交直线a,b,a∥平面α,则b与α的位置关系是 ( ) A.b∥α B.b与α相交 C.b α D.b∥α或b与α相交 3.如图所示,已知异面直线AB,CD都平行于平面α, 且AB,CD在α的两侧,若AC,BD分别与α相交于M,N两点, 求证: . 【解析】1.选A.如图所示,E,F,G分别为AB,BC,CD的中点,不难得出EF∥AC. 显然EF 平面EFG,AC 平面EFG, 所以有AC∥平面EFG. 2.选D.如图,正方体的面ABCD为平面α,A1B1为直线a,若B1C1为直线b,则b∥α,若B1B为直线b,则b与α相交. 3.如图所示,连接AD,交平面α于点P,连接PM,PN. 因为CD∥α,平面ACD∩α=PM, 所以CD∥PM,所以在△ACD中有 . 同理,在△DAB中,有 ,所以 【解题策略】 如果已知条件中给出线面平行或隐含线面平行,那么在解决问题的过程中,一定会用到线面平行的性质定理.在应用性质定理时,关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交,所得交线与已知直线平行. 类型二 直线与平面平行的判定(直观想象、逻辑推理) 【典例】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是BC,CC1,BB1的中点,求证:EF∥平面AD1G. 四步 内容 理解 题意 条件:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是BC,CC1,BB1的中点. 结论:EF∥平面AD1G. 思路 探求 证明直线和平面平行,必须在平面内找到一条直线和此直线平行,关键找平行线. 书写 表达 证明直线和平面平行,必须在平面内找到一条直线和此直线平行,关键找平行线.连接BC1,则由E,F分别是BC,CC1的中点,知EF∥BC1. 四步 内容 书写 ... ...
