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课件网) 从速度的倍数到数乘向量 实例分析 一重物由高空自由落下，由自由落体的速度公式v=gt可知，它在1s末和2s末的速度，大小分别为v1=9.8m/s和v2=19.6m/s.显然v2=2v1,并且方向都是竖直向下. 在实际中存在这样的两个向量，它们是共线的，而且大小之间存在倍数关系.因此，有必要定义实数与向量积的运算. 思考 a a a A B C O a 已知非零向量a，作a+a+a和(-a)+(-a)+(-a) -a -a -a P Q M N 一、向量的数乘运算的定义： 1．从两个角度看数乘向量 (1)代数角度 λ是实数，a是向量，它们的积仍是向量；另外，λa＝0的条件是λ＝0或a＝0. (2)几何角度 对于向量的长度而言， ①当|λ|＞1时，有|λa|＞|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长到|a|的|λ|倍； ②当0＜|λ|＜1时，有|λa|＜|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0＜λ＜1)或反方向(－1＜λ＜0)上缩短到|a|的|λ|倍． 【做一做1】课本 89页 练习 1 例1 已知A、B、C三点共线，且C是线段AB靠近点A的一个三等分点，则下列不正确的是（ ） 变式：已知A、B、C三点共线，且C是线段AB的一个三等分点，用 向量数乘的运算满足如下运算律： 设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有： 练习1 已知2a-b=m,a+3b=n,则a,b用m,n可以表示为a= ,b= . 练习2 设x是未知向量，3(a+2b)-4(b-x)=0,则x= . 思考 这样的λ是唯一的吗？ 向量b是一个非零向量(即b≠0),若存在一个实数λ，使a= λb,那么a与非零向量b共线. 若向量a与非零向量b共线，那么有且只有一个实数λ，使a= λb. 向量共线的判定定理: 向量共线的性质定理： 思考:1) 为什么要是非零向量 2) 可以是零向量吗 【做一做2】 课本 92页 练习 1 A B C D E 定理的应用: 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 且有公共点Ｂ 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB与CD不在同一直线上 直线AB∥直线CD A,B,C三点共线 AB∥CD 练习(1)设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-2a)共线,则λ=( ) A.0 B.-0.5 C.-2 D.0.5 例4 课本 84页 例3
