《名师学典·数学》2014暑假人教数学七升八培训11.1.1三角形的高、中线和角平分线（典例解析+一课三练）

11.1.2三角形的高、中线与角平分线 （一）认识并会画三角形的高线 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 各边上的高 高的交点 交点在三角形的内部 交点为B 交点为G在三角形外部 （二）认识并会画三角形的中线，认识重心 拓展性质：中线把三角形分为面积相等的两部分。 （三）认识并会画三角形的角平分线 （四）高、中线和角平分线的性质和区别 高 中线 角平分线 性质 垂直于一条边 平分一条边 平分一个角 相同 都是线段 交点 内部或顶点上或外部 内部 内部 例1 如图所示，在△ABC中，BC边上的高是 ，AB边上的高是 ；在△BCE中，BE边上的高是 ；EC边上的高是 ；在△ACD中，AC边上的高是 ； CD边上的高是 ． 21教育网 考点 高的定义。 分析 根据三角形的高的定义即可求出答案。 解析 根据三角形的高的定义：三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，这点和垂足之间的线段是三角形的这边上的高，得出：在△ABC中，BC边上的高是 AF，AB边上的高是 CE；在△BCE中，BE边上的高是 CE；EC边上的高是 BE；在△ACD中，AC边上的高是 CD； CD边上的高是 AC．21·cn·jy·com 故答案为：AF，CE，CE，BE，CD，AC． 点评 本题主要考查学生对“三角形的高”的定义的理解和掌握。此题图包含了锐角三角形，直角三角形，钝角三角形以及很多的直角，很容易混淆。 解题技巧 要清楚锐角三角形，直角三角形和钝角三角形的高的区别。 例2 （2013-2014学年山东省冠县武训高级中学《三角形》整章测试题）如图△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积是 。 2·1·c·n·j·y 考点 三角形的中线的性质。 分析 由三角形的中线的性质可推理得“三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形”。已知△ABC的面积，而且AD、BE分别是BC和AD上的中线，从而可求得。 解析 因为AD是△ABC的中线，所以=。因为BE是△ABD的中线，所以=6。 点评 掌握“三角形的中线，不仅平分一条边，而且将三角形平分成两个面积相等的三角形”的性质。 例3 已知，如图，AE是∠BAC的平分线，∠1=∠D． 求证：∠1=∠2． 考点 平行线的性质；三角形的角平分线的性质。 分析 由∠1=∠D，根据同位角相等，两直线平行可证AE∥DC，根据两直线平行，内错角相等可证∠EAC=∠2，再根据角平分线的性质即可求解．21·世纪*教育网 解 证明：∵∠1=∠D， ∴AE∥DC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠EAC=∠2（两直线平行，内错角相等）， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠1=∠EAC， ∴∠1=∠2． 点评 题目不难，平行线的性质是七下的知识，学生可能一下子想不出来，需要老师加以引导。 例4 △ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E． （1）∠B=30°，∠C=70°，求∠EAD的大小． （2）若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C-∠B是否相等？若相等，请说明理由． 考点 三角形的高和角平分线。 分析 （1）由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在△ADC中，AD⊥CD，可求得 ∠DAC的度数，AE是角平分线，有∠EAC=∠BAC，故∠EAD=∠EAC-∠DAC； （2）由（1）知，用∠C和∠B表示出∠EAD，即可知2∠EAD与∠C-∠B的关系． 解 （1）∵∠B=30°，∠C=70° ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80° ∵AE是角平分线， ∴∠EAC=∠BAC=40° ∵AD是高，∠C=70° ∴∠DAC=90°-∠C=20° ∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=40°-20°=20°； （2）由（1）知，∠EAD=∠EAC-∠DAC=∠BAC-（90°-∠C）① 把∠BAC=180°-∠B-∠C代入①，整理得∠EAD=∠C-∠B， ∴2∠EAD=∠C-∠B． 点评 （1）题根据三角形的高和角平分线的性质，求出一些相关的角度，即可角得。（1）题给（2）题提供了解题思路。 一课三练 基础知识 1. （2013-2014学年广东省广州市南沙区珠江中学八年级月考）下列各图中，正确画出AC边上的高的是（　　） ... ...