(
课件网) 第3章 对圆的进一步认识 3 . 1 圆的对称性 交流与发现 你还记得什么是圆吗 你学过哪些有关圆的知识 思考下面的问题，并与同学交流： (1) 在一张半透明的纸片上画一个圆，标出它的圆心 O，再任意作出一条直径AB将O沿直径AB折叠，你发现了什么 (2) 再任意作一条直径，重复 (1)中的操作，还有同样的结论吗 由此得到 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴. (3) 如图3-2，CD是⊙O的弦，AB是与CD垂直的直径，垂足为点 E. 将⊙O沿直径AB 折叠，你发现线段 CE 与DE有什么关系 与有什么关系 与有什么关系 为什么 连接OC，OD. 因为OC ＝ OD，OE ⊥ CD， 所以CE ＝ DE. 从而可知点 C与点D关于直线AB对称. 因为⊙O关于直线AB 成轴对称， 所以当⊙O沿直线AB折叠时，点 C与点D重合，与重合，与重合， 所以 ＝， ＝. 于是，便得到 *垂径定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧. 例 1 如图3-4，以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交AB于点 C，D，且AC＝BD. 求证：OA＝OB. 作OE⊥AB，垂足为点E . E E 由垂径定理，得 CE＝DE. ∵AC＝BD， ∴ AC＋CE＝BD＋DE， 即 AE＝BE. ∴ OE为线段AB的垂直平分线. ∴ OA＝OB . 例 2 1400多年前，我国隋朝时期建造的赵州石拱桥的桥拱近似于圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为37.02 m，拱高(弧的中点到弦的距离，也叫叫弓形的高)为7.23 m求桥拱所在圆的半径(精确到0.1 m). 解：设桥拱所在圆的半径为R(m). 如图，用表示桥拱，的圆心为O. 经过点O作弦AB的垂线，垂足为点D，与交于点C. ∵ OC ⊥ AB， ∴ D是线段AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高. ∵ AB＝37.02，CD＝7.23， ∴ AD＝AB＝×37.02 ＝ 18.51， OD ＝ OC － CD ＝ R－7.23. 在Rt△ODA中，由勾股定理，得 OA2＝AD2＋OD2， 即 R2＝18.512＋(R－7.23)2. 解这个方程，得R≈27.3. 所以，赵州石拱桥桥拱所在圆的半径约为27.3 m. 连接OP，过点P作OP的垂线AB，交⊙O于A，B两点，则AB 就是所求作的⊙O的弦因为 OP⊥AB，根据垂径定理，得点P为AB的中点. 挑战自我 如图3-8，P为⊙O内一点，你能用尺规作⊙O的一条弦AB，使点P恰为AB的中点吗 说明你的理由. 能 练 习 1. 如图，AB是⊙O的直径，弦 CD⊥AB垂足为点M， 求证：∠ACD＝∠ADC. 2. 如图，⊙O是水平放置的输油管道的横 截面，其直径为 650 mm，油面的宽度 AB＝600 mm. 求油的最大深度. F E 解：如图，过点O作OF⊥AB 于点E，交⊙O 于点F，连接 OA，则 EF 的长就是油的最大深度. ∵OE⊥AB， ∴AE ＝ AB ＝ × 600 ＝ 300(mm) F E 观察与思考 任意画一个圆，思考下面的问题： (1) 如图3-1，以圆心O为旋转中心，将这个圆旋转任意一个角度，你有什么发现 特别地，如果将⊙O绕圆心旋转 180°，直径AB 的两个端点的位置会发生什么变化 (2) 圆是中心对称图形吗 如果是，哪个点是它的对称中心 圆绕着它的圆心旋转 180°，能与原来的图形重合.所以， 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心. 如图3-9，在⊙O上任取两点A与B，连接OA，OB，得到∠AOB. 像∠AOB 这样，顶点在圆心的角叫做圆心角 . 实验与探究 (1) 如图，任意画一个⊙O，在⊙O内画圆心角∠AOB＝∠A′OB′. 连接AB，A′B′. (2) 以点O为旋转中心，将圆心角 ∠AOB连同按逆时针方向旋转，旋转角为∠AOA′，则半径OA与OA′重合这时OB与OB′重合吗 为什么 (3) 这时，AB与A′B′重合吗 弦AB与A′B′重合吗 由此你能得到什么结论 事实上，由于∠AOA′＝∠AOB＋∠BOA′， ∠BOB′＝∠AOB′＋∠BOA′， ∠AOB ＝∠A′OB， 所以 ∠AOA′＝∠BOB′. 由于旋转后半径OA与OA′重合，于是半径OB与OB′也重合，从而点A与A′重合，点B与B′重合. 所以与重合，弦AB与A′B′重合，即 ＝ ，AB＝A′B ... ...
