中小学教育资源及组卷应用平台 平面向量 概念及线性运算 向量的定义:有大小,有方向,以有向线段表示 零向量,单位向量 共线向量,相等向量,相反向量 加减法:三角形/平行四边形法则 数乘: 平面向量基本定理与三点共线充要条件 基本定理: ,不共线,任意向量可由唯一表示 三点共线充要条件:① ②, 鸡爪模型: 向量的数量积 , 投影: 坐标运算公式 1.,,则, 2.,,则 , 3.,, 4., 题型一 平面向量基本定理[把一个向量用另外两个向量表示,即] 例:在中,,,,求. 解: 题型二 遇模就平方 例:,,,求. 解: (注意开方!) 题型三 数量积应用 求数量积常用方法:①拆分基底;②建系坐标;③极化恒等式 拆分基底[往已知边,夹角去拆,尤其注意直角] 例:在中,,,,求. 解: 建系坐标[题目中存在明显的直角,各点坐标易得] 例:边长为6的正三角形中,为中点,,与交于,求. 解:由三角形相似可知为中点, ,, ,,. 极化恒等式 中,为中点,则. 例:是边长为2的等边三角形,是平面内任一点,求. 解:取中点,则,取中点, 则. 三角形的四心 已知是平面内任一点 1. 为重心,重心是中线的交点且分中线成比例 2. 为的垂心,垂心是高的交点 3. 为的内心,内心是角平分线的交点[分别为角的对边] 4. 为的外心,外心是中垂线的交点 解三角形 一 正弦定理 (外接圆直径) 适用条件:(1)两角一边 (2)两边一对角,求角 [利用正弦定理求解两边一对角问题,由正弦值一般会得到互补的两个角,此时须观察与已知角相加是否超过,或是否满足题设要求的形状(如锐角)] 二 余弦定理 (和轮换) 适用条件:(1)已知三边 (2)已知两边一夹角 (3)已知两边一对角,求边 [遇到类似于式子时,也要想到余弦定理] 三 正余弦定理的应用 1.齐次式边角互化(通常解题第一步都是利用边角互化进行化简) / [当等式左右两边,分式上下同时出现边或角的正弦值的齐次式时,可用上式进行变形化简] 例:,求. ,. 2. 遇到式子含有,,,时,要想到往哪个方向去变形化简,因此对三角恒等变换的公式必须熟练. 3.三角形面积公式 题型一 正余弦结合求面积 例:中,已知,求周长 解: [1.题中给了哪个角,一般就用这个角的正先来表示面积,余弦求边长; 2.出现两边之和/差时,将其完全平方会出现用于表示周长,面积,且余弦定理里边也有] 题型二 面积/周长最值问题(面积常用基本不等式找最值,周长除基本不等式外,还可以用三角函数) 例1:已知求 解: 例2:,求周长的最大值 法一: 法二: , 注意:在限制三角形的形状后要注意角的范围 如:假设上题为锐角三角形 则 后续做法相同 复数 一 概念 形如的数叫复数,一般用表示,为实部,为虚部,为虚数单位.规定: 二 分类 三 复数相等 1.相等复数:实部和虚部分别对应相等,即: 2.共轭复数:实部相等,虚部互为相反数,记作,即: 四 复数的运算 (1)加法: (2)减法: (3)乘法: (4)除法:(分母实数化) 例: 五 复数的几何意义 复数与复平面上一一对应 复数的模,指复平面上到原点的距离,且 立体几何 一 空间几何体 【知识点】 多面体:由多个平面组成的几何体 旋转体:一个平面图形绕所在平面内一条定直线旋转一周形成的几何体 1.棱柱:(1)上下平面平行;(2)侧棱平行 直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱; 正棱柱:底面为正多边形的直棱柱; 表面积:所有面积之和 侧面积:所有侧面面积之和 体积: 2.棱锥:(1)侧面是三角形;(2)侧棱交于一点 正棱锥:底面是正多边形且顶点在底面的投影为底面中心 (正四面体:四个面都是正三角形的三棱锥) 体积: 3.棱台:(1)上下底面平行;(2)侧棱交于一点.(用平行于底面的平面去截棱锥,得到平面与底面之间的几何体) 4.圆柱:以矩形的一条直角边为旋转轴 ,, 5.圆锥:以直角三角形的 ... ...
~~ 您好,已阅读到文档的结尾了 ~~