期末专题02 立体几何大题综合（北京专用） 一、解答题 1．（2022春·北京通州·高一统考期末）如图，在正方体中，. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线和平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由线面平行的判定可证明； （2）先证明线线垂直，从而可得线面垂直； （3）由（2）可得即为所求的角，再解三角形即可. 【详解】（1）证明：因为在正方体中，可知,而平面，平面，所以平面. （2）证明：因为在正方体中，可知平面，且平面，所以， 又因为、是正方形的对角形，因此， 又，且平面， 所以平面. （3）设与的交点为，连接，由（2）可知直线和平面所成的角为,且为直角三角形，， 设正方体棱长为2，可得， 所以，因此直线和平面所成的角为. 2．（2022春·北京延庆·高一统考期末）如图，已知正方体的棱长为分别是的中点. (1)求证：平面平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)详见解析； (2)详见解析； (3). 【分析】（1）利用正方体的性质及线面平行的判定定理可得平面，平面，再利用面面平行的判定定理即得； （2）利用线面平行的判定定理即得； （3）利用三棱锥的体积公式即得. 【详解】（1）由正方体的性质可得， ∴四边形为平行四边形， ∴，平面，平面， ∴平面， 同理可得平面，又， ∴平面平面； （2）由题可知，又， ∴，又平面，平面， ∴平面； （3）由题可知三棱锥的体积为 . 3．（2022春·北京·高一校考期末）如图， 已知正方体， 点为棱的中点. (1)证明：平面. (2)证明：. (3)在图中作出平面截正方体所得的截面图形 (如需用到其它点， 需用字母标记 并说明位置)， 并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)图形见解析，证明见解析. 【分析】（1）连接，交于点，连接，即可得到，从而得证； （2）由正方体的性质可得，再由，即可得到平面，从而得证； （3）取的中点，连接、，则为平面截正方体所得的截面，取的中点，连接、，由正方体的性质可得、，即可得证. 【详解】（1）证明：连接，交于点，连接， 因为是正方形，所以为的中点，又为棱的中点， 所以，平面，平面， 所以平面， （2）证明：在正方体中，平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面， 所以. （3）解：如图取的中点，连接、，则为平面截正方体所得的截面， 证明：取的中点，连接、，因为为棱的中点 所以且，且， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，即、、、四点共面，即为平面截正方体所得的截面； 4．（2022春·北京·高一统考期末）如图，在正方体中，是棱上一点，且． (1)试画出过三点的平面截正方体所得截面； (2)证明：平面与平面相交，并指出它们的交线． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析；为面与面的交线 【分析】（1）在上取一点，使得，延长交于点，连结，即可得到截面； （2）根据两平面有公共点，可知两面相交；延长，设它们交于点，可证得在两面交线上，由此可知交线为. 【详解】（1）在上取一点，使得，延长交于点，连结， 则平面就是过三点的平面截正方体所得截面． （2）平面，平面， 平面平面，即平面与平面相交． 延长，设它们交于点， 直线，直线平面，平面． 直线，直线平面，平面． 为面与面的交线． 5．（2022春·北京·高一统考期末）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑 (四个面均为直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵中，已知，，．当阳马体积等于时， 求： (1)堑堵的侧棱长； (2)鳖臑的体积； (3)阳马 ... ...
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