数列复习小结（二）

课 题：数列复习小结（二） 教学目的： 1．进一步掌握数列的有关概念和公式的应用 2．要求学生对等差、等比数列有更深刻的理解，逐渐形成熟练技巧 授课类型：复习课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一引入： 上一节总结了数列的有关概念、方法、公式等，本节继续通过讲解例题，进一步加深和提高运用所学知识解决问题的灵活性 二、例题讲解 例1 在△ABC中，三边成等差数列，也成等差数列，求证△ABC为正三角形 证：由题设，且 ∴ ∴ 即 从而 ∴ （获证） 例2 从盛有盐的质量分数为20%的盐水2 kg的容器中倒出1 kg盐水，然后加入1 kg水，以后每次都倒出1 kg盐水，然后再加入1 kg水， 问：1.第5次倒出的的1 kg盐水中含盐多少g？ 2.经6次倒出后，一共倒出多少k盐？此时加1 kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？ 解：1.每次倒出的盐的质量所成的数列为{}，则： a= 0.2 kg , a=×0.2 kg , a= ()×0.2 kg 由此可见：= ()×0.2 kg , = ()×0.2= ()×0.2=0.0125 kg 2.由1.得{}是等比数列 a=0.2 , q= 例3在等比数列中，，求的范围 解：∵，∴ 又∵，且，∴， ∴解之： 当时，，∴ （∵） 当时，， ∵且必须为偶数 ∴，（∵） 例4 设{}, {}都是等差数列，它们的前n项和分别为, , 已知,求⑴；⑵ ⑴ 解法1：＝＝ ＝. ⑴解法2：∵{}, {}都是等差数列 ∴可设＝kn(5n+3), =kn(2n-1) ∴=-= k[n(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)]=kn(10n-2), =-=k[n(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1)] =kn(4n-3), ∴== ⑵解：由⑴解法2，有 =-= k[n(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)]=kn(10n-2), =-=k[n(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1)] =kn(4n-3), ∴＝k5(105-2)=240k ＝k8(48-3)=232k ∴ = 例5设等差数列{}的前n项和为, 如果a＝9, S＝40, 问是否存在常数c，使数列{}成等差数列； 如果＝n－6n, 问是否存在常数c，使得＝对任意自然数n都成立 解：(1) 由a＝9, S＝40, 得a＝7, d＝2, ∴ ＝2n＋5, ＝n2＋6n, ＝ ∴ 当c＝9时, ＝n＋3是等差数列； (2) ＝对任意自然数n都成立， 等价于{}成等差数列, 由于＝n－6n ∴＝, 即使c＝9, ＝|n－3|, 也不会成等差数列， 因此不存在这样的常数c使得＝对任意自然数n都成立 三、课后作业： 1．已知, a, , …, , …构成一等差数列，其前n项和为＝n, 设＝, 记{}的前n项和为, (1) 求数列{}的通项公式；(2) 证明：<1. 解：(1) ＝＝1, 当n≥2时, ＝－＝2n－1; 由于n＝1时符合公式，∴ ＝2n－1 (n≥1). (2) ＝, ∴ ＝, 两式相减得 ＝＋＝＋(1－)－, ∴ ＝＋(1－)－<1, 2．已知等差数列{}的前n项和为，＝, 且＝,＋＝21, (1) 求数列{bn}的通项公式；(2) 求证：＋＋＋……＋<2. 解：(1)设等差数列{}的首项为, 公差为d,则＝(＋2d)·＝, ＋＝8＋13d＝21, 解得 ＝1, d＝1, ∴ ＝n, ＝, ＝; (2) ＋＋＋……＋ ＝2·[(1－)＋(－)＋……＋()]<2. 23．已知函数f (x)＝(x－1), 数列{}是公差为d的等差数列，数列{}是公比为q的等比数列(q∈R, q≠1, q≠0), 若＝f (d－1), ＝f (d＋1), ＝f (q－1), ＝f (q＋1), (1) 求数列{}, {}的通项公式； (2) 设数列{}对任意的自然数n均有 成立，求＋＋＋……＋的值 解：(1) ＝f (d－1)＝(d－2), ＝f (d＋1)＝d, ∴ －＝2d, 即d－(d－2)＝2d, 解得d＝2, ∴ ＝0, ＝2(n－1), 又＝f (q－1)＝(q－2), ＝f (q＋1)＝q, ＝q, ∴ ＝q, ∵q ≠1, ∴ q＝3, ∴＝1, ＝3 (2) 设＝(n∈N), 数列{}的前n项和为, 则＝＝2n, ＝＝2(n－1), ∴－＝2, 即＝2, ∴ ＝2＝2·3 ∴＋＋＋……＋ ＝2＋2·3＋……＋2·3＝＝, 四、板书设计（略） 五、课后记： ... ...