新课标八年级第三十二讲 几何不等式[下学期]

新课标八年级数学竞赛讲座 第三十二讲 几何不等式 1．三角形的不等关系是研究许多几何不等问题的基础，这种不等关系分为两类：一类是在同一三角形中进行比较；一类是在两个三角形中比较．这里主要方法是把要比较的边或角如何转化到同一个三角形或适当安排在两个三角形之中． 2．在同一个三角形中有关边或角不等关系的证明，常有以下定理： (1)三角形任何两边之和大于第三边． (2)三角形任何两边之差小于第三边． (3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角． (4)同一三角形中大边对大角． (5)同一三角形中大角对大边． 例题求解 【例1】 如图19-2，在等腰梯形ABCD中，A∥BC，AB=CD，E、F分别在AB、CD上且AE=CF．求证：． 思路点拨 如图所示，延长AD至D1使DD1=BC，延长BC至Cl，使CCl =AD，连结ClDl，则ABC1Dl是平行四边形，ABCD和CDDlCl是两个全等的梯形，在D1C1上取一点G使D1G=AE，连结FG和EG． 由AE=CF，则EF=FG，又EG=AD1=AD+BC， ∴ 2EF=EF+FG≥EG=AD+BC． 即． 注 当且仅当点F落在EG上时，即E为AB的中点时，结论中的等号成立．证明这类不等式的一个常用方法是能过添加辅助线，把要比较大小的线段或角集中到一个三角形中，或者适当地安排在两个三角形中，以便应用上述基本不等式关系． 【例2】 如图19-3，△ABC中，AB>AC，BE、CF是中线，求证：BE>CF． 思路点拨 将BE、CE分别平移到FG、FD，则四边形EFDC为平行四边形，作FH⊥BC于H． ∴AB>AC，且F，E分别为AB、AC的中点，∴ FB>CE． ∴ FB>FD，由勾股定理得：HB>HD，即FB>FD． 又∵GH=GB+BH=EF+BH=DC+BH>CD+DH=CH， 即GH>CH， ∴ GF>CF． 即 BE>CF． 【例3】 如图19-4，在等腰△ABC中，AB=AC，D为形内一点，∠ADC>∠ADB， 求证：DB>DC． 思路点拨 把△ABD绕点A按逆时针方向旋转△BAC 至△ACD′，连接DD′，则AD=AD'． ∴∠ADD′=∠AD′D，而∠ADC>∠ADB， ∴ ∠ADC>∠AD′C， ∴ ∠ADD′+∠D′DC>∠AD′D+∠CD′D ∴ ∠D'DC>∠DD'C． ∴ CD′>DC，即DB>DC． 注 几何图形在平移、对称、旋转变换中，只是图形位置发生变化，而线段的长度、角的大小不变． 【例4】 如图19-5，在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且2 b < a +c，求证：2∠B<∠A+∠C． 思路点拨 延长BA到D，使AD=BC= a，延长BC到E，使CE=AB=，连结DE， 这就把图形补成一个等腰三角形，即有BD=BE= a + c． ∴∠BDE=∠BED． 作DF∥AC，CF∥AD，相交于F，连结EF，则ADFC是平行四边形． ∴CF=AD=BC． 又∠FCE=∠CBA，∴△FCE≌△CBA ∴ EF=AC= b． 于是 DE≤DF+EF=2 b < a+c=BD=BE． 这样，在△BDE中，便有∠B<∠BDE=∠BED ∴ ∠2B<∠BDE+∠BED=180°一∠B=∠A+∠C， 即2∠B<∠A+∠C． 【例5】 过三角形的重心任作一直线，把这个三角形分成两部分，求证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的． 思路点拨 如图19-6，设△ABC重心为，过点G分别作各边的平行线与各边交点依次为A1、B1、B2、C1、C2、A2 连结A1A2；B1B2、C1C2， ∵ 三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的二倍， ∴ A1A=A1Bl=B1B， BB2=B2Cl=C1C，CC2=C2A2=A2A． ∵ A1A2∥BC，B1B2∥AC，C1C2∥AB， ∴ 图中的9个三角形全等． 即△AA1A2≌△A1B1G≌△B2GB1≌…≌△C2ClC． 所以上述9个小三角形的面积均等于△ABC面积的． 若过点C作的直线恰好与直线A1C1、B1C2、B2A2重合，则△ABC被分成的两部分的面积之差等于一个小三角形的面积，即等于△ABC面积的． 若过点C作的直线不与直线A1C1、B1C2、B2A2重合，不失一般性，设此直线交AC于F，交AB于E，交C1C2于D， ∵ GBl=GC2，∠EB1G=∠DC2C，∠B1GE=∠C2GD， ∴ △B1GE≌△C2GD． ∴ EF分△ABC成两部分的面积之差等于， 而这个差的绝对值不会超过S△C1C2C的面积． 从而EF分△ABC成 ... ...