(
课件网) （沪教版2020必修第二册） 第 9 章 复数 9.3实系数一元二次方程 在初中课程中已学过了实系数一元二次方程，它具有标准 形式 ９．３ 实系数一元二次方程 我们已经知道可用判别式 来判定这个方程实根 的存在性．具体地说，在实数范围内考虑： （１）当Δ＞０时，该方程有两个不相等的实根 （２）当Δ＝０时，该方程有两个相等的实根（二重根） （３）当Δ＜０时，该方程没有实根 我们现在再来讨论实系数一元二次方程的求根问题，但将根 的取值范围从实数拓广到复数．也就是说，我们不仅要讨论实 根，还要讨论虚根．我们要解决的问题实际上有两个： （Ａ）当Δ≥０时，除了已经找到的实根外，方程在复数范围 还有其他的根吗？ （Ｂ）当Δ＜０时，方程在复数范围有根吗？怎样求出它的根？ 回答这两个问题，关键是对Δ（它是一个实数）在复数范围的 平方根问题有个准确的把握． 1 实数的平方根 设c ∈R，并设 是它的一个平方根，即 将上式左边展开，得到 再根 据复数相等的条件，就得到 从第二个等式可知，a与 b 中至少有一个为零． 当c≥０时，必须b＝０，否则a＝０，从而推出 ， 与假设矛盾．于是 必是c 的一个实平方根．这说明， 除了已知的实平方根 非负实数犮在复数范围没有其他 的平方根． 而当c＜０时，必须a＝０，否则b＝０，从而推出 与假设矛盾．于是， ，从而 此时犮的平 方根有两个： 它们是两个共轭的纯虚数． 例１ 在复数范围求25与－25的平方根． 解 因为25＞０，它在复数范围的平方根与实数范围的平方 根是一样的，都是±５；因为－２５＜０，它没有实平方根，而在复 数范围其平方根是 ２ 实系数一元二次方程 我们现在在复数范围求解实系数一元二次方程 ．用配方法，得到 这就是说， 是实数Δ的平方根．由前面关于实数平方根 的讨论，就可以回答本节引言中所提的两个问题了，其答案是： 在复数范围内， （１）当Δ＞０时，方程有两个不相等的实根 （２）当Δ＝０时，方程有两个相等的实根（二重根） （３）当Δ＜０时，方程有一对共轭虚根 例２ 在复数范围内解方程： 解 该方程的判别式Δ＝（－４）２－４×２×５＝－２４＜０，所以 此方程有一对共轭虚根 如果实系数一元二次方程 有实根 与 ，由必修课程第２章已经知道这两个根与方程的系数有如 下关系（韦达定理）： 实系数一元二次方程的根与系数的关系在虚根的情况下仍然成 立，这只要直接把根代入验证就可以了． 例３ 如果p、q 都是实数，而关于x的方程 p＝０有一个根 ，求p、q的值． 解 方程 有一个虚根－２＋３ｉ，则它的另一 个根必为其共轭复数－２－３ｉ．由根与系数的关系，有 从而 例４ 在复数范围将 分解因式． 解 例２中已经求出方程 的两个根 与 所以 课本练习 练习９．３ １．已知k是一个实常数，而关于x的一元二次方程 有两个虚根．求k的取值范围． ２．在复数范围内解方程： ３．若 和 是方程 的两个根，求 的值． 随堂检测 1. 在复数范围内解下列方程： 解： 2. 在复数范围内解下列方程： 解： 3、若 是关于 的方程 的一个根， 求 的值. 解： ... ...
