(
课件网) 第2章 圆形的轴对称 2.4 线段的垂直平分线（2） 回顾与整理 我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线 性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 性质2：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 实验与探究 利用基本作图“作一条线段的垂直平分线”可以作出过已知线段中点的这条线段的垂线，能把作图的范围再推广到“过一个点作已知直线的垂线”吗 由于一个点与一条直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外，所以应分两种情况进行讨论。 (1)已知直线l和l上一点P。怎样过点P作直线l的垂线 先在直线l上作出以点P为中点的一条线段AB，再利用上面学过的基本作图，作线段AB的垂直平分线，那么这条直线既经过点P，又与直线l垂直。 作 法 ①以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线l相交于点A和点B; ②作线段AB的垂直平分线CD（如图） 直线CD就是过点P的直线l的垂线 · A B P C D l (2)已知直线l和l外一点P。怎样经过点P，作直线l的垂线 也要设法先在直线l上作出一条线段AB，并且使点P到线段AB两端的距离相等。再利用基本作图“作线段AB的垂直平分线”，那么这条直线既经过点P，又与直线l垂直。 作 法 ①任意取一点K，使点K和点P分别在直线l的两侧: ②以点P为圆心，PK的长为半径作弧，与直线l相交于点A和点B; ③作线段AB的垂直平分线CD。（如图） 直线 CD就是过点P的直线l的垂线. · A B K C D l · P 海伦(Heron，活跃于公元62年左右) 是古希腊的一位数学家、测量学家。相传，有一天一位将军专程拜访海伦求教一个令他百思不得其解的问题:“我每天策马往返于两个边防站A与B之间，途中都要到小河l边让坐骑饮水。怎样走路程最近呢 ”你能帮将军解答这个问题吗？说出你的作法，在图中作出最近的路线，并说明作图的道理。 例1 作 法 (1) 过点B作直线l的垂线BC，垂足为 C; (2)在BC上截取点B'，使B，B'分别在l的两侧，且CB'= CB; (3) 连接AB'，与直线l交于点P(如图) 点P就是所求作的直线l上使AP+BP的值最小的点。 理由是:因为点B，B'关于直线l对称，根据轴对称的基本性质， l是 BB'的垂直平分线，所以 PB = PB'。根据“两点之间线段最短”，如果点 P'是l上的一个动点，当A，P' ，B'在一条直线上(即P'与P重合)时，AP'+P'B的值最小。也就是AP+PB的值最小。 实际上，点B'是点B关于直线l的对称点. 课后作业 完成习题2.4 谢谢观看 谢谢观看(
课件网) 第2章 圆形的轴对称 2.4 线段的垂直平分线（1） 实验与探究 (1)在纸上作一条线段AB(图①)，通过对折使端点 A 与端点 B 重合。将纸展开后铺平，记折痕所在的直线为MN，直线 MN与线段AB的交点为 O (图②) 。你有什么发现 MN⊥AB，垂足为点O。AO=OB. 线段是轴对称图形。它的一条对称轴垂直平分这条线段。 垂直平分线 垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线 (2)如图②，MN是线段AB的垂直平分线，在MN上任意取一点P，则点P可能有两种情况：当P恰是MN与线段AB的交点时，由MN平分AB可知PA=PB；当P不在线段AB上时，连接PA与PB(图③)。把这张纸再沿直线MN对折，PA与PB重合吗？为什么？由此你能得到什么结论 ③ M N O P A B · 将线段AB沿直线MN对折，因为MN是线段AB的对称轴，A，B是对应点。故对折后点A与点B重合。由于点P在对称轴MN上，对折后点P与它自身重合，于是PA与PB重合，所以PA= PB. 线段垂直平分线的性质: 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. (3)反过来，到线段两端距离相等的点是否都在线段的垂直平分线上 当点P在线段AB上时，由PA=PB，可知P是AB的中点，此时点P在线段AB的垂直平分线上。当点P在线段AB外 ... ...
