第2章 图形的轴对称 2.5 角平分线的性质 基础过关全练 知识点1 角平分线的性质 1.(2023山东菏泽成武期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,若BC=20,AD平分∠BAC交BC于点D,且BD∶CD=3∶2,则点D到线段AB的距离(DE的长)为( ) A.4 B.8 C.10 D.12 2.(2022北京中考)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB.若AC=2,DE=1,则S△ACD= . 3.如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点E在BD上,连接AE,CE,DF⊥AE,DG⊥CE,垂足分别是F,G.试说明: (1)△ABE≌△CBE; (2)DF=DG. 知识点2 角平分线的判定 4.(2022湖南株洲中考)如图所示,点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC=30°),OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N,若OM=ON,则∠ABO= 度. 5.如图所示,∠A=∠B=90°,P是AB的中点,且DP平分∠ADC,连接PC. (1)试说明CP平分∠BCD; (2)线段PD与PC有怎样的位置关系 请说明理由. 知识点3 用尺规作角的平分线 6.(2022辽宁铁岭中考)如图,OG平分∠MON,点A,B是射线OM,ON上的点,连接AB.按以下步骤作图:①以点B为圆心,任意长为半径作弧,交AB于点C,交BN于点D;②分别以点C和点D为圆心,大于CD的长为半径作弧,两弧相交于点E;③作射线BE,交OG于点P.若∠ABN =140°,∠MON=50°,则∠OPB的度数为( ) A.35° B.45° C.55° D.65° 7.(2023北京昌平期末)如图所示的是用直尺和圆规作∠AOB的平分线的示意图,具体作法:①以点O为圆心,任意长为半径作弧,交OA于C,交OB于D;②分别以点C、D为圆心,以大于CD的长为半径作弧,两弧交于点E;③作射线OE,所以射线OE就是∠AOB的平分线.这种作图方法之所以正确,那是因为连接CE、DE后,我们可以证明△COE≌△DOE,其证明依据是 . 能力提升全练 8.(2023广东广州二中期中,10,★★)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°, AC=6,BC=8,AB=10,BD平分∠ABC,如果M、N分别为BD、BC上的动点,那么CM+MN的最小值是( ) A.2.4 B.3 C.4 D.4.8 9.【整体思想】(2023山东聊城莘县期中,14,★★)如图,已知△ABC的周长是20,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于点D,且OD=3,△ABC的面积是 . 10.(2022山东菏泽曹县期中,22,★★)如图,已知线段a和∠α,求作△ABC,使AB=a,∠A=∠α,∠B=∠α(使用直尺和圆规,并保留作图痕迹). 素养探究全练 11.【推理能力】有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法,其方法如下: (1)如图所示,以O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OM、ON于点A、B; (2)以O为圆心,不等于(1)中的半径长为半径画弧,分别交OM、ON于点C、D; (3)连接AD、BC,交点为E; (4)作射线OE,则OE为∠MON的平分线. 你认为他的这种作法正确吗 试说明理由. 答案全解全析 基础过关全练 1.B 因为BC=20,BD∶CD=3∶2,所以CD=BC=8, 因为AD平分∠BAC,∠C=90°,DE为点D到线段AB的距离,所以DE=CD=8,故选B. 2.答案 1 解析 过点D作DH⊥AC于H,如图, 因为AD平分∠BAC,DE⊥AB,DH⊥AC, 所以DH=DE=1, 所以S△ACD=AC·DH=×2×1=1. 3.证明 (1)因为BD平分∠ABC,所以∠ABE=∠CBE, 在△ABE与△CBE中, 所以△ABE≌△CBE(SAS). (2)由(1)得△ABE≌△CBE, 所以∠AEB=∠CEB, 所以180°-∠AEB=180°-∠CEB,即∠AED=∠CED, 又因为DF⊥AE,DG⊥EC,所以DF=DG. 4.答案 15 解析 因为OM⊥AB,ON⊥BC,OM=ON, 所以BO平分∠ABC, 所以∠OBM=∠OBN, 因为∠ABC=30°,所以∠ABO=15°. 5.解析 (1)证明:如图,过点P作PQ⊥CD于点Q, 因为P是AB的中点,∠A=∠B=90°, 所以PA=PB,PA⊥AD,PB⊥CB, 因为DP平分∠ADC,PA⊥AD,PQ⊥CD,所以PA=PQ, 所以PA=PQ=PB, 因为PB⊥CB,PQ⊥CD,所以CP平分∠BCD. (2)PD⊥PC. 理由:因为∠A=∠B=90°,所以∠A+∠B=180°, 所以AD∥BC,所以∠ADC+∠BCD=180°, 因为DP平分∠ADC,CP平分∠BCD, 所以∠PDC=∠ADC,∠PCD=∠BCD, 所以∠PD ... ...
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